01042 应用数学 复习资料1.docx

01042应用数学知识库

·下列表达式正确的是

·曲面在点处的切平面方程为

·设二维随机变量的概率密度函数为：则常数的值为

·设则级数收敛，发散

·曲线的通过点的切线方程为

·设，设为3阶非零矩阵，且，则的值为

·设随机变量的密度函数为，则下列结论不正确的是

·设，则是的可去间断点

·当时，函数是的同阶无穷小量，则3

·1

·下列求导公式、微分公式或积分公式中有错误的是，，

·下列反常积分计算正确的是

·下列函数不是的原函数的是

·已知定积分，，，

，则下列选项中大小排列正确的是

·如果极限与都存在，则极限一定存在

·当时，与相比较是同阶无穷小量。

·设，则

·。

·如果点为函数的极小值点，则不一定存在

·设，则2。

·设，则二重积分π。

·微分方程的通解为。

·设矩阵，则4。

·设随机变量相互独立，且都服从标准正态分布，则2。

·设，则2。

·设，则二重积分4π。

·设矩阵，则0。

·设随机变量相互独立，且都服从标准正态分布，则2。

·设，则-2。

·定积分2。

·设矩阵，则0。

·设服从区间上的均匀分布，则0.2。

·设，则-2。

·设函数在点处连续，则3。

·曲线在点处的法线方程为。

·若，则2。

·函数在闭区间上的最大值是5。

·计算下列极限和积分：

（1）

（2），

·设函数，分别求出的单调增加区间与凸区间，并写出函数的水平渐近线和铅直渐近线.。

解：

由，解得

即的单调增加区间为

由，解得，即的凸区间为

因为，所以的水平渐近线为

因为，所以的铅直渐近线为

·小明在践行社会主义核心价值观的活动中，将富强、民主、文明、和谐做成4张A类卡片，表示国家层面的价值目标，将自由、平等、公正、法治做成4张B类卡片，表示社会层面的价值取向，又将爱国、敬业、诚信、友善做成4张C类卡片，表示公民个人层面的价值准则，即将社会主义核心价值观的这24个字设计成背面都相同的12张卡片。现从这12张卡片中随机抽取两张卡片，则所抽取的两张卡片中包含一张A类卡片的概率是

·问为何值时，线性方程组

（1）无解？

（2）有唯一解？

（3）有无穷多组解？

解：对增广矩阵进行初等行变化如下

（1）当时，，线性方程组无解；

（2）当时，，线性方程组有唯一解；

（3）当时，，线性方程组有无穷组解；

·求微分方程通解。

·计算下列极限和积分：

（1）

（2），

解：（1）

（2）

·计算，其中是两条抛物线，所围的闭区域。

解：

·已知向量组，，，，求向量组的秩与一个极大线性无关组，并用这个极大线性无关组来线性表出该向量组中其余的向量。

解：对矩阵进行初等行变换如下

向量组的秩为3；

向量组的一个极大线性无关组为；

且

·求微分方程满足初始条件，的特解。

解：特征方程为

特征根为

对应齐次方程的通解为

设原方程的一个特解为

代入原方程解得

即原方程的通解为

又由，

，

解得，

即所求特解为

·问为何值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无穷多组解？当此线性方程组有无穷多组解时，求出其通解。

解：对增广矩阵进行初等行变化如下

当时，，线性方程组无解；

当时，，线性方程组有唯一解；

当时，，线性方程组有无穷组解；

此时，等价方程组为

，一个基础解系为，

原方程组的一个特解为

即原方程的通解为

·求极限：。

解：原式

·计算，其中是由所确定的圆环域。

解：

·求微分方程的通解。

解：特征方程为

特征根为

对应齐次方程的通解为

设原方程的一个特解为

代入原方程解得

即原方程的通解为

·求不定积分：。

解：原式

·求幂级数的收敛半径、收敛域。

解：因为

，

当时，级数发散；

当时，级数发散；

故收敛域为

·已知一定量理想气体的状态方程为，其中为常数。证明：

。

证明：因为，所以

因为，所以

因为，所以

即

·设则级数收敛，发散