高中数学 同步教学 绝对值不等式(1).ppt

高中·数学高中·数学3.5绝对值不等式第一课时绝对值不等式(1)课标要求:1.掌握绝对值三角不等式的基本定理及其应用.2.会用绝对值三角不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|的几何意义求最值.自主学习知识探究1.定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当时,等号成立.几何解释:用向量a,b分别替换a,b.(1)当a与b不共线时,有|a+b||a|+|b|,其几何意义为..(2)若a,b共线,当a与b时,|a+b|=|a|+|b|,当a与b时,|a+b||a|+|b|.由于定理1与三角形之间的这种联系,故称此不等式为绝对值三角不等式.ab≥0三角形的两边之和大于第三边反向同向2.定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.当且仅当.时,等号成立.几何解释:在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.当点B不在点A,C之间时:①点B在点A或点C上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|;②点B不在点A,C上时,|a-c||a-b|+|b-c|.应用:利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.(a-b)(b-c)≥0自我检测B1.已知实数a,b满足ab0,则下列不等式成立的是()(A)|a+b||a-b| (B)|a+b||a-b|(C)|a-b|||a|-|b|| (D)|a-b||a|+|b|解析:因为ab0,所以|a+b||a-b|.故选B.A2.若a,b∈R,则以下命题正确的是()(A)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(B)|a|-|b||a-b||a|+|b|(C)当且仅当ab0时,|a+b||a-b|(D)当且仅当ab≤0时,|a-b|=|a|-|b|解析:若a=1,b=-1,则B,D不正确.若a=b=1,则C不正确.故选A.3.若a,b,c∈R,且|a-c||b|,则正确的是()(A)|a||b|+|c| (B)|a||b|-|c|(C)|a||b|+|c| (D)|a||b|-|c|A解析:因为||a|-|c||≤|a-c||b|,所以|a|-|c||b|,即|a||b|+|c|.故选A.4.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是,最小值是.?解析:由定理得|a+b|≤|a|+|b|=5,当且仅当ab0,即a=3,b=2或a=-3,b=-2时等号成立.因为|a|最小为0,|b|最小为0,故|a+b|最小值为0.所以|a+b|的最大值是5,最小值是0.答案:505.不等式|x-a|+|x-b|≥|a-b|中等号成立的条件是.?解析:由定理2易知(a-x)(x-b)≥0时,等号成立.答案:(a-x)(x-b)≥0题型一利用绝对值三角不等式证明不等式课堂探究解:(1)由|a-b|c及|b-c|a得c-a|a-b|-|b-c|≤|(a-b)+(b-c)|=|a-c|=|c-a|.由c-a|c-a|知c-a0,故ca.方法技巧绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.即时训练1-1:(1)设|a|1,|b|1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()(A)|a+b|+|a-b|2 (B)|a+b|+|a-b|2(C)|a+b|+|a-b|=2 (D)不可能比较大小解:(1)当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|2.当(a+b)(a-b)0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|2.故选B.题型二利用绝对值三角不等式求最值【例2】(1)函数y=|x+1|+|x-2|的最小值为.?解析:(1)y=|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|≥|x+1+2-x|=3,所以y≥3.所以函数的最小值为y=3,此时(x+1)(2-x)≥0,即-1≤x≤2.所以-1≤x≤2时,函数的最小值为3.答案: