《数列无穷小》课件.pptVIP

*****************序言引言数列无穷小是微积分学的重要概念，它在函数极限、级数收敛、微分方程等领域都有着广泛的应用。本课程旨在为学生系统讲解数列无穷小的理论基础、重要性质和应用方法，帮助学生深入理解微积分的基本原理。课程目标了解数列无穷小的定义和性质，掌握无穷小的阶、等价无穷小、无穷大与无穷小的比较等重要概念，并能运用这些概念解决实际问题。学习方法课前预习，认真听课，积极思考，课后复习，及时练习，遇到问题及时向老师或同学请教。数列的基本概念定义数列是指按照一定顺序排列的一列数。每个数称为数列的项，用an表示第n项。类型数列可以是有限的，也可以是无限的。有限数列是指项数有限的数列，无限数列是指项数无限的数列。表示方法可以用通项公式、递推公式、图形等方法来表示数列。举例例如，数列1,2,3,4,5是一个有限数列，其通项公式为an=n。极限的定义与性质极限定义数列的极限是指当项数趋向于无穷大时，数列的项无限接近于某个特定值。收敛数列当数列的极限存在时，称该数列收敛。发散数列当数列的极限不存在时，称该数列发散。收敛数列与发散数列1收敛数列数列的极限存在，且极限值为有限值。2发散数列数列的极限不存在，或者极限值为无穷大。3收敛数列的性质收敛数列具有有界性、单调性等重要性质。4发散数列的性质发散数列可能无界，也可能具有单调性。无穷大与无穷小数列无穷大数列当数列的项越来越大，最终趋于无限大，则称该数列为无穷大数列。例如，数列{n}(n=1,2,3,...)就是无穷大数列，因为当n越来越大时，n也越来越大。无穷小数列当数列的项越来越小，最终趋于零，则称该数列为无穷小数列。例如，数列{1/n}(n=1,2,3,...)就是无穷小数列，因为当n越来越大时，1/n也越来越小。极限的四则运算1和两个极限之和等于各极限之和。2差两个极限之差等于各极限之差。3积两个极限之积等于各极限之积。4商两个极限之商等于各极限之商，前提是分母极限不为零。极限的四则运算遵循代数运算规则。这些运算定理使我们可以更方便地计算复杂函数的极限。实数开方运算的极限1开方运算的定义实数开方运算指求一个数的n次方根的运算，其中n为正整数。2极限存在的条件当n为奇数时，实数开方运算的极限总是存在的，无论被开方数是正数、负数还是零。3极限的计算当n为偶数时，实数开方运算的极限仅在被开方数为非负数时存在，且极限值为被开方数的正平方根。单调数列的极限定义单调数列是指其项按顺序递增或递减的数列。例如，{1,2,3,4,...}是一个递增的单调数列。极限存在性单调数列的极限存在，且该极限是数列的最大值或最小值。极限的求解我们可以利用单调数列的性质，通过观察数列的变化趋势来推断其极限。应用单调数列的极限在数学分析、微积分和应用数学等领域有着广泛的应用。夹逼定理与夹逼数列夹逼定理夹逼定理用于确定数列极限。如果一个数列被两个收敛于同一极限的数列夹住，那么这个数列也收敛于该极限。夹逼数列夹逼数列是指被两个收敛于同一极限的数列夹住的数列。夹逼定理为判定夹逼数列的极限提供了方法。理解极限夹逼定理和夹逼数列的概念有助于理解极限的概念，并为计算数列的极限提供了有效的方法。极限存在的充要条件1柯西收敛准则数列收敛的充分必要条件是该数列满足柯西收敛准则.2单调有界准则单调数列收敛的充要条件是该数列有界.3极限存在的唯一性如果数列收敛，则其极限唯一.4极限与无穷小数列收敛的充要条件是该数列的极限与无穷小之差是一个无穷小.无穷小的阶阶的概念无穷小的阶用于比较不同无穷小的“趋近于零的速度”。阶越高，趋近于零的速度越快。阶可以是正数、负数或零。阶的比较如果两个无穷小的阶相同，则它们之间的比值趋近于一个非零常数。如果一个无穷小的阶高于另一个，则它们的比值趋近于零。等价无穷小等价无穷小的概念当自变量趋于某一确定值时，两个无穷小量之比的极限为1，则称这两个无穷小量等价。等价无穷小的应用等价无穷小可以简化极限计算，尤其是在处理复杂函数的极限时非常有用。等价无穷小公式sinx~x(x趋于0)tanx~x(x趋于0)ln(1+x)~x(x趋于0)e^x-1~x(x趋于0)无穷大与无穷小的比较比较大小无穷大数列的极限为无穷大，无穷小数列的极限为零。两个无穷大数列的极限大小可以比较。阶的比较无穷小数列的阶指的是无穷小数列与另一个无穷小数列的比值，可以比较它们的阶来比较大小。比较方法可以使