（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测06平面向量（教师版）.docVIP

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第06课平面向量

考点01平面向量的基本概念

【例1】给出下列3个命题，①相等向量是共线向量；（2）若与不相等，则向量与是不共线向量；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；其中真命题的个数是（????）

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【详解】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故相等向量一定是共线向量，即①正确；

若与不相等，则向量与也可以共线，只要与模不同即可，故②错误；平行于同一个向量的两个向量不一定是共线向量，如，，，此时，，但是与不一定共线，故③错误；即真命题只有个.故选：B

【变式1】（多选）下列叙述中正确的是（????）

A．若，则

B．若，则

C．已知非零向量与且//，则与的方向相同或相反

D．对任一非零向量是一个单位向量

【答案】CD

【详解】A：若时，不一定有，错误；B：向量不能比较大小，错误；C：非零向量与且//，则与的方向相同或相反，正确；D：非零向量，则是一个单位向量，正确.故选：CD

【变式2】（多选）下列说法正确的有（????）

A．

B．λ、μ为非零实数，若，则与共线

C．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小

D．若平面内有四个点A、B、C、D，则必有

【答案】BCD

【详解】对于A选项，，故错误；对于B选项，因为为非零实数，且，与一定共线，故正确；对于C选项，向量不能比较大小；向量的模可比较大小，故正确；对于D选项，由，所以，故正确.故选：BCD.

考点02平面向量的线性运算

【例2】如图所示，，，M为AB的中点，则为（????）

??

A．B．C．D．

【答案】B

【详解】，，M为AB的中点，所以.

故选：B

【变式3】在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且，设，则（????）

??

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】将转化为，结合已知可得.

【详解】在五角星中，，，则，，，

，.故选：C.

【变式4】在中，E为AC上一点，，P为线段BE上任一点，若，则的最小值是（????）

A．B．C．6D．8

【答案】B

【详解】由题可得B，P，E三点共线，则.又，，

则，则.

当且仅当，即时取等号.故选：B

考点03向量共线与三点共线

【例3】如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设.

(1)用向量与表示向量；

(2)若，求证：三点共线.

【答案】(1)，；(2)证明见解析

【详解】（1）是的中点，

；.

（2），

与平行，又与有公共点，三点共线.

【变式5】设是不共线的两个向量，.若三点共线，则k的值为__________.

【答案】

【详解】因为三点共线，故,则，使得，

又，故，则，解得，

故答案为：

【变式6】已知是不共线的向量，且，则（????）

A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线

C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线

【答案】D

【详解】因为，所以，

若A、B、D三点共线，则，而无解，故A错误；

因为，所以，

若A、B、C三点共线，则，而无解，故B错误；

因为，所以，

若B、C、D三点共线，则，而无解，故C错误；

因为，所以，

即，所以A、C、D三点共线，故D正确.故选：D

考点04平面向量共线定理的推论

【例4】如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为（????）．

??

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】利用共线定理的推论可得.

【详解】因为，所以，所以，

因为P，B，N三点共线，所以，解得.故选：D

【变式7】如图，在△ABC中，点P在边BC上，且，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若，，则实数的值是（????）

??

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】结合向量的运算可得，然后由三点共线得，可得答案.

【详解】由题意知：，又，，即，由三点共线，可得，即.故选：B.

【变式8】在中，点O满足，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（????）

A．B．C．3D．4

【答案】A

【分析】利用共线定理的推论可得，然后妙用“1”可得.

【详解】由题可知，，因为，，所以，，

又，所以，所以，

因为三点共线，所以，所以，

当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.故选：A

??