专题18.4 矩形的性质与判定-重难点题型（教师版含解析）.pdf

专题18.4矩形的性质与判定-重难点题型

【人教版】

【知识点1矩形的定义】

有一个角是直角的平行四边形是矩形．

【知识点2矩形的性质】

①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对

角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的

直线；对称中心是两条对角线的交点．

【题型1矩形的性质（求角的度数）】

【例1】（2021春•南京月考）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，

则∠CDE大小是（）

A．55°B．40°C．35°D．20°

【分析】由矩形的性质得出OC＝OD，得出∠ODC＝∠OCD＝55°，由直角三角形的性质求出∠ODE＝

20°，即可得出答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，

140.

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∴OC＝OD，

∴∠ODC＝∠OCD，

∵∠AOD＝110°，

1

∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD=（180°﹣70°）＝55°，

2

∵DE⊥AC，

∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，

∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；

故选：C．

【点评】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形

的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．

【变式1-1】（2021春•天津期中）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC

＝2BF，连接AE，EF，AF．若AB＝2，AD＝3，则∠AEF的大小为（）

A．30°B．45°C．60°D．不能确定

【分析】根据矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，求出AB＝CF＝2，BF＝CE

＝1，根据全等三角形的判定推出△ABF≌△FCE，根据全等三角形的性质得出AF＝EF，∠BAF＝∠CFE，

求出∠AFE＝90°，再求出答案即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝3，AB＝2，

∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，

∵点E是CD的中点，FC＝2BF，

∴CE＝DE＝1，BF＝1，CF＝2，

∴AB＝CF＝2，CE＝BF＝1，

在△ABF和△FCE中，

=

∠=∠

=

∴△ABF≌△FCE（SAS），

240.

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∴AF＝EF，∠BAF＝∠CFE，

∵∠B＝90°，

∴∠BAF+∠AFB＝90°，

∴∠CFE+∠AFB＝90°，

∴∠AFE＝180°﹣（∠CFE+∠AFB）＝180°﹣9°＝90°，

∴△AFE是等腰直角三角形，

∴∠AEF＝45°，

故选：B．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，

能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．

【变式1-2】（2021春•秦淮区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平

分∠BAD交于点E，且BO＝BE，则∠CAE＝．

【分析】先证△ABE是等腰直角三角形，得AE＝BE，再证△BAO是等边三角形，得∠OAB＝60°，即

可求解．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

11

∴AC＝BD，OA＝OC=AC，OB＝OD=BD，∠BAD＝90°，