专题18.5 正方形的性质与判定-重难点题型（教师版含解析）.pdf

专题18.5正方形的性质与判定-重难点题型

【人教版】

【知识点1正方形的定义】

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

【知识点2正方形的性质】

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角

线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分

成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．

【题型1正方形的性质（求角的度数）】

【例1】（2021春•海珠区校级期中）如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠ABE

的度数是．

【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB＝AD＝AE，∠BAE＝150°，进而可求得∠ABE＝

15°．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

143.

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∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∵△ADE是等边三角形，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°，

∴∠BAE＝∠BAD+DAE＝150°，AB＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB，

1

∴∠ABE=（180°﹣∠BAE）＝15°，

2

故答案为：15°．

【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推

理是本题的关键．

【变式1-1】（2021春•黄浦区期末）如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，BE交AD于点F，∠ADE

＝75°，则∠AFB＝°．

【分析】根据等腰三角形的性质得∠AED＝∠ADE＝75°，由三角形内角和求出顶角∠DAE的度数，根

据正方形的性质得△ABE为等腰三角形，再由直角三角形的两锐角互余得答案．

【解答】解：∵AE＝AD，

∴∠AED＝∠ADE＝75°，

∴∠DAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，

∴AB＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB，

∵∠BAE＝90°+30°＝120°，

180°−120°

∴∠ABE==30°，

2

243.

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∴∠AFB＝90°﹣30°＝60°．

故答案为：60．

【点评】此题考查了正方形的性质，正方形的四个角都是直角，且各边都相等；在几何证明中常运用等

边对等角和等角对等边来证明边相等或角相等；在三角形中，要熟练掌握三角形的内角和定理和直角三

角形的两个锐角互余．

【变式1-2】（2021春•海淀区校级月考）如图，在正方形ABCD内，以AB为边作等边△ABE，则∠BEG

＝°．

【分析】本题通过正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，在

由等边三角形的性质得到AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．进而得到∠ADE＝∠AED＝

75°，

从而得到答案即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．

又∵三角形ABE是等边三角形，

∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．

∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，

∴AE＝AD，

∴∠ADE＝∠AED＝75°，

∴∠BEG＝180°﹣∠DAE﹣∠AEB＝180°﹣75°﹣60°＝45°．

故答案为：45．

【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键．

【变式1-3】（2021春•大兴区期中）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E连接

BE，DE，其中DE交直线AP于点F．连接AE，若∠PAB＝20°，求∠ADF的度