高考数学复习：正弦定理和余弦定理 (2).ppt

第六节正弦定理和余弦定理

讲核心考点·全突破考点一利用正、余弦定理解三角形考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状考点三与三角形面积有关的问题练考题预测·全过关课时分层提升练内容索引

考点一

【对点练通】1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=,sinA=,b=,则a=________.?【解析】由正弦定理,得a=答案:

2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c满足b2=ac,且c=2a,则cosB=________.?【解析】因为b2=ac,且c=2a,所以cosB=答案:

【变式备选】设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=,cosB=,b=3,则c=________.?【解析】在△ABC中,因为cosA=0,所以sinA=.因为cosB=0,所以sinB=.所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)

=sinAcosB+cosAsinB=由正弦定理,得所以c=答案:

考点二

【对点练通】1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cosA,则△ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形【解析】选A.依题意得cosA,sinCsinBcosA,所以sin(A+B)sinBcosA,即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA0,所以cosBsinA0,又sinA0,于是有cosB0,B为钝角,△ABC是钝角三角形.

2.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(1)求角A的大小.(2)若sinB+sinC=,试判断△ABC的形状.【解析】(1)由题意知2a2=(2b-c)·b+(2c-b)·c,所以b2+c2-a2=bc.由cosA=,得A=60°.

(2)因为A=60°,所以B+C=120°,所以C=120°-B,由sinB+sinC=,得sinB+sin(120°-B)=,整理得sin(B+30°)=,所以sin(B+30°)=1,因为B为三角形的内角,所以B+30°=90°,即B=60°,所以C=60°,所以△ABC的形状为等边三角形.

考点三

【对点练通】1.在△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,a=,cosA=,则△ABC的面积S为 ()【解析】选A.由b2-bc-2c2=0,可得(b+c)(b-2c)=0.所以b=2c.在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,即6=4c2+c2-4c2·.所以c=2,从而b=4.所以S△ABC=bcsinA=×4×2×

2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bc=1,a2-bc=(b-c)2.(1)求△ABC的面积.(2)若cosBcosC=,求△ABC的周长.【解析】(1)由题意得b2+c2-a2=bc,所以cosA=,即A=60°,所以S△ABC=bcsinA=.

(2)因为cosA=-cos(B+C)=,所以sinB·sinC-cosB·cosC=.由题意,cosB·cosC=,所以sinB·sinC=,因为所以a=1,所以b2+c2-a2=(b+c)2-2bc-1=(b+c)2-3.

因为b2+c2-a2=1,所以b+c=2,所以△ABC的周长为a+b+c=1+2=3.

【变式备选】1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为 ()A.2+2 B.+1C.2-2 D.-1

【解析】选B.因为b=2,B=,C=.由正弦定理得c=A=π-π,所以sinA=sin=sincos

cossin则S△ABC=bc·sinA=×2×2+1.

2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=,则a的值为______.?【解析】因为0Aπ