专题12 将军饮马与勾股定理（解析版）.pdf

专题12将军饮马与勾股定理

【例题讲解】

1

请阅读下列材料：问题：如图，点、在直线的同侧，在直线上找一点，使得＋的

ABllPAPBP

2A

值最小．小明的思路是：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点

AlABABl

P即为所求．

请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：

(1)32BDl1

如图，在图的基础上，设与直线l的交点为C，过点B作，垂足为D，若CP＝，

AA

21

PD＝，AC＝，写出AP＋BP的值；

(2)1“1”“BD4AC”

将（）中的条件＝去掉，换成，其它条件不变，写出此时＋的值；

ACAPBP

(3)请结合图形，求出22的最小值．

(2m2)1(82m)4

(1)2

解：如图，

′11

∵AA⊥l，AC＝，PC＝，

∴△APC为等腰直角三角形，

∴PA＝22，∠APO=45°，

ACCP2

A

∵作点关于直线的对称点，

Al

∴＝＝，∠′′=∠=45°，∵BDl，

PAPA2APCAPC

=90°-=90°-45°=45°===2

∴∠B∠BPD，∴∠BPD∠B，∴PDBD，

=2222++23

∴BPPDBD2222，∴APPB＝22＝2；

(2)3

解：作A′E∥l，交BD的延长线于E，如图，

∵⊥，⊥，′

AClBDl

∴∠′=∠=90°，

ACDEDC

∵A′E∥l，∴AC⊥A′E，′

′=90°

∴∠CAE，