5.2.1任意角三角函数的定义 课件（共28张PPT） 湘教版（2019）高中数学必修第一册.pptxVIP

5.2.1任意角三角函数的定义（2）

（一）问题引入

复习回顾

设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P(x，y)，则

思考：半径为1的圆称为“单位圆”.如何利用单位圆定义任意角的三角函数？

（二）新知探究

问题1：如何借助单位圆定义任意角的三角函数？

设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则

r=1

（二）新知探究

问题2：任意角的三角函数值的符号与什么有关？其变化有什么规律？

三角函数值的符号规律

角α的终边在第一、二象限或者y轴正半轴上

sinα0

当且

仅当

+

+

y0

三角函数值的符号规律

角α的终边在第一、二象限或者y轴正半轴上

角α的终边在第三、四象限或者y轴负半轴上

+

+

－

－

y0

y0

三角函数值的符号规律

三角函数值的符号规律

+

+

－

－

异号

异号

同号

同号

三角函数值的符号规律

（二）新知探究

问题3：任意角的三角函数值如何用图形进行表示？

思考1：若角α终边在第一象限，sinα和cosα的值用图形如何表示？

OD＝x＝cosα.

DP＝y＝sinα，

（二）新知探究

问题3：任意角的三角函数值如何用图形进行表示？

设单位圆的圆心为直角坐标系的原点O，角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D.

思考1：若角α终边在第一象限，sinα和cosα的值用图形如何表示？

任意角的三角函数线

过点A(1，0)作单位圆的切线，切线垂直于x轴，设该切线与角α的终边(或其反向延长线)相交于点T．

思考2：此时，tanα的值和什么几何元素有关？如何表示？

任意角的三角函数线

思考3：如果角α的终边在其它象限，上面的结论还成立吗？

sinα

线段DP

cosα

线段OD

tanα

线段AT

任意角的三角函数线

思考3：如果角α的终边在其它象限，上面的结论还成立吗？

sinα

线段DP

cosα

线段OD

tanα

线段AT

任意角的三角函数线

思考3：如果角α的终边在其它象限，上面的结论还成立吗？

sinα

有向线段DP

cosα

有向线段OD

tanα

有向线段AT

任意角的三角函数线

思考3：如果角α的终边在其它象限，上面的结论还成立吗？

sinα

有向线段DP

D为起点，P为终点：当它指向y轴的正方向时，取正实数值y；当它指向y轴的负方向时，取负实数值y；当它的长度为0时，取零值．

称DP为角α的正弦线.

任意角的三角函数线

思考3：如果角α的终边在其它象限，上面的结论还成立吗？

O为起点，D为终点：当它指向x轴的正方向时，取正实数值x；当它指向x轴的负方向时，取负实数值x；当它的长度为0时，取零值．

cosα

有向线段OD

称OD为角α的余弦线.

任意角的三角函数线

思考3：如果角α的终边在其它象限，上面的结论还成立吗？

A为起点，T为终点：当它指向y轴的正方向时，取正实数值；当它指向y轴的负方向时，取负实数值；当它的长度为0时，取零值．

tanα

有向线段AT

称AT为角α的正切线.

任意角的三角函数线

正弦线DP

余弦线OD

正切线AT

三角函数线

（三）例题讲解

解：观察图中各象限角的三角函数线可知

第一、二象限角的正弦线DP为正向，正弦值为正；第三、四象限角的正弦线DP为负向，正弦值为负.

第一、四象限角的余弦线OD为正向，余弦值为正；第二、三象限角的余弦线OD为负向，余弦值为负.

例1利用正弦线、余弦线、正切线研究各象限角的三角函数值的符号．

（三）例题讲解

解：观察图中各象限角的三角函数线可知

例1利用正弦线、余弦线、正切线研究各象限角的三角函数值的符号．

第一、三象限角的正切线AT为正向，正切值为正；第二、四象限角的正切线AT为负向，正切值为负.

代数

几何

（三）例题讲解

练习判断下列各值的符号：

（1）（2）（3）

（三）例题讲解

解：因为sinθ0，

所以θ是第三或第四象限的角

因为tanθ0，

所以θ是第一或第三象限的角.

因此满足sinθ0且tanθ0的θ是第三象限的角.

例2设sinθ0且tanθ0，试确定θ是第几象限的角．

或终边在y轴的负半轴上.

（三）例题讲解

例3已知试借助单位圆比较下列实数的大小.

（1）在单位圆中，