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《信息技术支持的函数研究》教学设计

教学设计

一、提出问题，引入课题

对数函数是重要的基本初等函数，如果将函数（）的底数和真数互换位置，得到函数（），你能画出它的图象，说出它的性质吗？

这节课我们将借助数学软件GeoGebra做进一步研究.

二、提出问题，分析讨论

教师提出以下问题，让学生思考

（1）研究函数的基本方法是什么？

（2）我们前面学习的指数函数与对数函数是如何研究的？

（3）对于一个新函数我们要从哪些方面进行研究？

学生讨论、交流，可选择下面的方案进行研究方案.

第一步：先研究具体函数，可设，用GeoGebra分别画出函数的图象（如教材图和图）.

学生观察图象，得出结论：

函数在区间和上单调递减；函数在区间和上单调递增.

一般地，（）的单调性为：当时，在区间和上单调递减；当时，在区间和上单调递增.

第二步：思考当N变化时，函数（）的图象和性质有什么规律呢？

由前面学习可知：当时，随着a的增大，对数函数（取）图象的变化规律如教材图；当时，随着a的增大，对数函数（取）图象的变化规律如教材图.

当时，以函数，为例（如教材图）.

当时，以函数为例（如教材图）.

学生结合图象归纳总结规律：

当时，对于同一个自变量x的取值，当时，的值随着N值的增大而增大；当时，的值随着N值的增大而减小.

当时，对于同一个自变量x的取值，当时，的值随着N值的增大而增大；当时，的值随着N值的增大而减小.

综上，无论是还是，函数的图象都分布在第一、第四象限，并且当时，对于同一个自变量的取值，函数值随着N值的增大而增大；当时，对于同一个自变量的取值，函数值随着N值的增大而减小.

方案2：由对数运算性质，有，所以函数（，且）的研究可以借助于已有的对数函数（）的图象和性质.

函数是一个复合函数，设（），分析过程如下表：

（，且）

（，且）

在和上单调递增

在和上单调递减

在和上单调

递减

在和上单调递减

在（0，1）和（1，+∞）上单调递增

在和上单调递增

明确了函数的单调性，有益于我们研究函数（）的值域与最值.

当时，

函数值域.

当时，

函数值域.

所以，此函数无最值.

三、课堂小结

回顾本节课探究函数（）的性质的过程.

四、布置作业

1.研究函数与（）的图象与性质.

§5信息技术支持的函数研究

1.研究函数（）的图象和性质

方案1：

无论是还是，函数的图象都分布在第一、第四象限，并且当1时，对于同一个自变量的取值，函数值随着N值的增大而增大；当时，对于同一个自变量的取值，函数值随着N值的增大而减小

方案2：

（，且）

（，且）

在和上单调递增

在和上单调递减

在和上单调

递减

在和上单调递减

在（0，1）和上单调递增

在和上单调递增

2.课堂小结

回顾本节课探究函数（）的性质的过程

教学研讨

本案例先指出前面学习了对数函数，将真数与底数互换位置，得到一个新函数，如何研究这样一个函数的图象与性质，是本节课的内容.然后设计了3个问题，引导学生思考，教案提出了两种研究这一函数的方案.一个是利用信息技术画出图象，信息技术的发展是非常快的，教材上用数学软件GeoGebra画函数的图象时，解释说需要用换底公式转化后才能用软件GeoGebra画函数的图象，实际上现在的GeoGebra软件可以直接画出函数的图象，这样我们在画函数的图象时就更加方便了；另一个是通过复合函数的单调性来考虑.课后设计了2个作业题，拓展学生的思维，使学生明白利用信息技术的手段可以研究很多函数的图象与性质，也可以研究不同类型的函数之间的关系.