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《指数幂的拓展》教学设计
教学设计
一、新课导入
请同学们回顾复习整数指数幂的定义，并填写下面结果：
（1）________________；
（2）_____________________；
（3）____________.
思考：薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树木枯萎、花草凋零经测算，薇甘菊的侵害面积S（单位：）与年数t满足关系式，其中S（单位：）为侵害面积的初始值.
根据上述关系式，可以计算出10年后薇甘菊的侵害面积是，其中是整数指数幂的形式那么经过15.5年，薇甘菊的侵害面积是多少？如何表示？
这就给我们提出问题：具有实际意义，那么指数是分数时，指数幂的意义是什么？
设计意图：通过举实例引入新课，将数学问题和实际生活紧密结合，从形象到抽象，培养学生数学抽象的学科素养.
二、新知探究
1.正分数指数幂.
若已知，则，我们也可以用分数指数幂表示为.
正分数指数幂：给定正数a和正整数m，n（，且m，n互素），若存在唯一的正数b，使得，则称b为a的次幂，记作.这就是正分数指数幂.
例如，，则.
注：我们也把写成的形式，即.
教师讲解例题：
例1、把下列各式中的正数b写成正分数指数幂的形式：
（1）；（2）；（3）；
（4）.
解：（1）；（2）；（3）；（4）.
练习1把下列各式中的正数x写成正分数指数幂的形式：
（1）；（2）.
请两名学生到黑板上做练习1，其他学生在练习本上做，然后教师评价.
答案：（1）；（2）.
例2计算：（1）；.
解：（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
练习2计算：（1）；（2）.
请两名学生到黑板上做练习2，其他学生在练习本上做，然后教师评价.
答案：（1）；（2）.
设计意图：介绍完概念紧跟例题，通过讲解例题，介绍做题方法并加以练习，使学生能够在熟悉的数学情境中了解运算对象，提出运算问题，提高学生的数学运算能力.
2.负分数指数幂.
请同学们回顾负整数指数幂的定义，能否类似地引入负分数指数幂呢？
给定正数a和正整数m，n（，且m，n互素），定义.
通过小组讨论，学生们各抒己见，教师总结.
说明：（1）规定了分数指数幂的意义后，指数幂中的指数就从整数推广到了有理数当我们把正整数指数幂推广到有理数指数幂或（，且m，n互素）时，对底数a应有所限制，即.
（2）对于每一个有理数我们都定义了一个有理数指数与它对应，这样就可以把整数指数函数扩展到有理数指数函数，得到一个定义在有理数集上的指数函数.
（3）特殊地，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
例3、把下列各式中的正数b写为负分数指数幂的形式：
（1）；（2）；（3）.
解：（1）；（2）；（3）.
练习3教材第76页练习第1题.
请三名学生到黑板上做练习3，其他学生在练习本上做，然后教师评价.
答案：（1）；（2）；（3）.
例4、计算：（1）；（2）.
解：（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
设计意图：设计小组讨论，让学生自主研究负分数指数幂的定义和归纳分数指数幂的定义，了解熟悉的定理、概念之间的逻辑关系，提升学生的逻辑推理能力.
3.无理数指数幂.
思考交流：请同学们阅读教材第75页至第76页并回答问题：指数幂中的指数拓展到全体实数后有意义吗？
活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：
①从近似值的分类来考虑，一方面从大于的方向另一方面从小于的方向.
②对表格的观察一方面从上往下看，另一方面从左向右看，注意其关联.
③上述方法实际上是无限接近，最后是逼近.
④对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释.
⑤在③④的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般.
无理数指数幂的意义：
一般地，无理数指数幂（，是正无理数）是一个确定的实数.
也就是说，无理数可以作为指数，并且指数幂的结果是一个实数，这样指数幂中的指数范围又一次得到推广在数的拓展过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数，我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂拓展到了实数指数幂.
说明：
（1）正整数指数幂→负整数指数幂→整数指数幂→正分数指数幂→负分数指数幂→分数指数幂→无理数指数幂一实数指数幂.
（2）若，则我们把b叫作a的一次幂，记作,且.
（3）一般地，给定正数a，对于任意的正无理数，有.
这样，指数幂中指数的范围就扩大到了全体实数.
通过上面的论述，我们知道：
（1）给定一个正数a，对任意实数，指数幂都大于0；
（2）0的任意正实数指数幂都等于0；
（3）0的零指数幂没有意义，任意负实数指数幂我们暂不研究.
三、课堂小结
师生共同回顾总结：
1.分数指数幂的概念.
2.分数指
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