《数列极限的定义》课件.pptVIP

*****************课程目标理解数列极限的概念掌握数列极限的定义、性质和判断方法。应用极限解决实际问题利用极限理论分析和解决与实际问题相关的数学模型。培养逻辑思维能力通过对数列极限的学习，提高逻辑推理和抽象思维能力。数列的定义数列的定义数列是由一系列按一定顺序排列的数字组成的集合。数列的表示数列可以用通项公式或递推公式来表示。数列的例子常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。数列的特点有序性数列中的元素排列顺序是固定的，每个元素都有唯一的位置。无限性数列中的元素可以无限个，没有最后一个元素。规律性数列中的元素通常满足一定的规律，可以由一个通项公式表示。数列的基本性质11.有界性如果数列中所有的项都小于某个常数，则数列有上界。如果数列中所有的项都大于某个常数，则数列有下界。22.单调性如果数列中每一项都大于前一项，则数列单调递增。如果数列中每一项都小于前一项，则数列单调递减。33.收敛性如果数列的极限存在，则称数列收敛。如果数列的极限不存在，则称数列发散。44.有界单调数列必收敛这是一个重要的定理，可以用来判断数列是否收敛。数列的极限极限概念数列的极限是数列中所有元素的最终趋向。当数列的项数不断增加时，如果数列的值越来越接近一个固定值，这个固定值就被称为数列的极限。极限符号数列的极限通常用符号“lim”表示。例如，数列{1/n}的极限为0，可以表示为lim(n→∞)1/n=0。极限的定义收敛极限当数列的项趋近于某个特定值时，这个值就是数列的极限。也就是说，当n趋近于无穷大时，数列的项无限接近于这个值。发散极限如果一个数列的项没有趋近于某个特定值，或者趋近于无穷大，那么这个数列就称为发散数列，没有极限。极限的性质极限具有许多重要的性质，例如，极限的唯一性、极限的加减乘除运算以及极限的复合运算等。极限的性质唯一性如果一个数列的极限存在，那么极限值是唯一的。也就是说，一个数列不可能有两个不同的极限。有界性收敛数列是有界的，也就是说，存在一个常数M，使得数列中所有项的绝对值都小于M。保号性如果数列的极限大于0，那么从某一项开始，该数列的所有项都大于0。如果数列的极限小于0，那么从某一项开始，该数列的所有项都小于0。保序性如果一个数列的极限大于另一个数列的极限，那么从某一项开始，第一个数列的所有项都大于第二个数列的所有项。收敛数列的特点有界性收敛数列一定是有界的，也就是说它的所有项都落在某个有限区间内。收敛性收敛数列的极限值是存在的，并且随着项数的增加，数列的项越来越接近这个极限值。单调性收敛数列可能具有单调性，例如单调递增或单调递减。连续性收敛数列的极限值是连续的，这意味着它没有间断点。发散数列的特点无界性发散数列的项可以无限增大或减小，没有界限。振荡性发散数列的项可能在某个值附近来回波动，不会趋于一个固定值。非收敛性发散数列的项不会收敛到一个特定值，而是会无限远离某个值。判断数列极限的方法极限定义法直接使用极限定义进行判断，计算数列项与极限值的差，验证其是否能无限趋近于零。夹逼定理若数列{an}被两个收敛于相同极限的数列{bn}和{cn}夹住，则数列{an}也收敛于该极限。单调有界定理若数列{an}单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则该数列收敛于其上界或下界。利用极限的性质利用极限的性质，如极限的唯一性、极限的运算性质等，推断数列的极限。单调数列的极限1定义单调递增或递减数列2收敛性极限存在且有限3求极限利用单调数列极限存在定理4应用证明数列的收敛性单调数列是指其项依次递增或递减的数列。这种数列具有一个重要的性质：如果单调数列有上界或下界，那么它一定收敛。我们可以利用单调数列极限存在定理来求解单调数列的极限。该定理指出，如果一个单调数列有界，那么它一定收敛。单调数列的极限可以用于证明数列的收敛性，以及解决一些实际问题。收敛数列的子数列也收敛1收敛数列的子数列收敛数列的子数列也收敛于同一个极限。这意味着，如果一个数列收敛于某个值，那么它的任何一个子数列都收敛于同一个值。2子数列的定义子数列是原数列中选取一些项按照原来的顺序排列而形成的数列。3收敛的性质收敛数列的子数列也收敛于同一个极限，这是收敛数列的重要性质之一。4应用这个性质在证明数列极限存在和求数列极限时很有用。发散数列的子数列也发散无穷大发散数列趋向于无穷大，子数列也必然趋向于无穷大。无穷小发散数列趋向于无穷小，子数列也必然趋向于无穷小。振荡发散数列可能振荡