二重积分的基本例题.pdfVIP

其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

二重积分的基本例题

教学内容：

利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通

过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的.

一、利用直角坐标计算二重积分

我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题.

讨论中,我们假定；

假定积分区域可用不等式表示,

其中,在上连续.

据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面

为顶的曲顶柱体的体积.

其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平

面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线

为曲边的曲边梯形,其面积为

一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得

截面的面积为

利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为

从而有

其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

(1)

上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作

的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果(它

是的函数)再对从到计算定积分.

这个先对,后对的二次积分也常记作

在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重

积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的

(在上连续),公式(1)总是成立的.

例如:计算

解:

类似地,如果积分区域可以用下述不等式

表示,且函数,在上连续,在上连续,则

其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

(2)

显然,(2)式是先对,后对的二次积分.

二重积分化二次积分时应注意的问题

1、积分区域的形状

前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:

对于I型(或II型)区域,用平行于轴(轴)的直线穿过区域内部,直

线与区域的边界相交不多于两点.

如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)

区域的并集.

2、积分限的确定

二重积分化二次积分,确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二

次积分限的方法

--几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下)

在上任取一点