第三章　§3.3　导数与函数的极值、最值-2025新高考一轮复习讲义.docx

§3.3导数与函数的极值、最值

课标要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．

知识梳理

1．函数的极值

(1)函数的极小值

函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧____________，右侧____________，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值

函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧____________，右侧____________，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

(3)极小值点、极大值点统称为________，极小值和极大值统称为________．

2．函数的最大(小)值

(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条____________的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：

①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的_______________________________________________；

②将函数y＝f(x)的各极值与________________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

常用结论

对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．()

(2)函数的极小值一定小于函数的极大值．()

(3)函数的极小值一定是函数的最小值．()

(4)函数的极大值一定不是函数的最小值．()

2.(选择性必修第二册P98T4改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()

A．1B．2C．3D．4

3．若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有两个极值点，则实数a的取值范围是___________________．

4．(选择性必修第二册P93例6改编)函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4在区间[0,3]上的最大值是________，最小值是________．

题型一利用导数求解函数的极值问题

命题点1根据函数图象判断极值

例1(多选)(2023·连云港模拟)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，下列说法正确的是()

A．f(1)为函数f(x)的极大值

B．当x＝－1时，f(x)取得极小值

C．f(x)在(－1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减

D．当x＝3时，f(x)取得极小值

命题点2求已知函数的极值

例2设函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex，讨论f(x)的单调性并判断f(x)有无极值，若有极值，求出f(x)的极值．

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

命题点3已知极值(点)求参数

例3(1)(2024·成都模拟)若函数f(x)＝x(x＋a)2在x＝1处有极大值，则实数a的值为()

A．1 B．－1或－3

C．－1 D．－3

(2)(2023·威海模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为()

A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))

C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co