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2.6.2双曲线的几何性质(1)
1.掌握双曲线的简单几何性质
2.理解双曲线离心率的意义及算法.
重点:双曲线离心率的意义及算法.
难点:双曲线离心率的意义及算法.
知识梳理
双曲线的几何性质
标准方程
图形
性
质
范围
x≤-a或x≥ay∈R
y≤-a或y≥ax∈R
对称性
对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点
顶点坐标
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
轴
实轴:线段A1A2,长:2a;
虚轴:线段B1B2,长:2b;
半实轴长:a,半虚轴长:b
渐近线
y=±ba
y=±ba
离心率
a,b,c间的关系
c2=a2+b2(ca0,cb0)
课前小测
1.若双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1的离心率为eq\r(3),则其渐近线方程为()
A.y=±2xB.y=±eq\r(2)x
C.y=±eq\f(1,2)xD.y=±eq\f(\r(2),2)x
2.若双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的
离心率为()
A.eq\f(\r(7),3)B.eq\f(5,4)C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,3)
3.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为()
A.3B.2C.3D.2
二、典例解析
例1双曲线方程为x2a2-y2=1,其中a0,双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=
A.233 B.3 C.2
例2已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B,
A.7 B.4 C.233
例3.已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b
双曲线的弦,如果∠PF2Q=90°,求双曲线的离心率.
求双曲线的离心率
(1)求双曲线的离心率或其范围的方法
①求a,b,c的值,由c2a2=a2
②列出含有a,b,c的齐次方程或不等式,借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程或不等式求解.
(2)求解时,若用到特殊几何图形,可运用几何性质使问题简化.
跟踪训练1渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()
A.22 B.1 C.2
跟踪训练2已知点F(1,0).若l:x=-1与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且
A.2 B.3 C.2 D.5
1.已知双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,3)=1(a0)的离心率为2,则a=()
A.2B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(5),2)D.1
2.若一双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为()
A.y2-3x2=36B.x2-3y2=36
C.3y2-x2=36D.3x2-y2=36
3.已知ab0,椭圆C1的方程为eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1,双曲线C2的方程为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1,C1与C2的离心率之积为eq\f(\r(3),2),则C2的渐近线方程为()
A.x±eq\r(2)y=0B.eq\r(2)x±y=0
C.x±2y=0D.2x±y=0
4.设F1,F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=eq\f(9,4)ab,则该双曲线的离心率为()
A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(9,4)D.3
5.过双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为________.
6.设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点
A.2 B.3C.2 D.
参考答案:
知识梳理
学习过程
课前小测
1.
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