2023-2024学年广东省阳江市高二上学期1月期末测试数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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广东省阳江市2023-2024学年高二上学期

1月期末测试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合，，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】，，

故选：B

2.已知，，，则的最小值为（）

A. B.1 C.0 D.

【答案】B

【解析】由题设，且，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为1.

故选：B

3.已知幂函数的图象过点，则的值为（）

A.9 B.3 C. D.

【答案】A

【解析】设，则，所以，

则，所以

故选：A

4.若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】设，

根据已知结合二次函数性质，作图

则有，

解得.

故选：C.

5.已知，则＝（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

故选：D

6.已知向量，，，，则与的夹角为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】，，

，

，

，.故选：A

7.某圆锥的母线长为4，轴截面是顶角为120°的等腰三角形，过该圆锥的两条母线作圆锥的截面，当截面面积最大时，圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为（）

A.4 B.2 C. D.

【答案】D

【解析】设该圆锥的顶点为S，底面圆心为O，AB为底面圆的直径，连接SO，由圆锥的母线长为4，轴截面是顶角为120°的等腰三角形可知圆锥的高，底面圆半径为，

设C为圆锥底面圆周上一点，连接BC，OC，则，

所以当的面积最大时，即最大时，即的夹角为90°时，

的面积最大，此时的面积为8，且，

取中点，连接，则，

在直角中，可得，

所以的面积为，

设圆锥底面圆的圆心O到截面SBC的距离为h，

则由可得，

即，解得，

所以圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为．故选：D．

8.已知是表面积为的球表面上的四点，球心为的内心，且到平面的距离之比为，则四面体的体积为（）

A.3 B.4 C.5 D.6

【答案】A

【解析】由题意可知：球心既是的内心，也是的外心，则为等边三角形，

设球的半径为，则，解得，

由正弦定理可得，即的边长为，

分别取的中点，连接，

因为到平面的距离相等，由对称可知：点在底面的投影在直线上，

如图，以O为坐标原点，为x轴所在直线，为y轴所在直线，过作底面的垂线为z轴所在直线，建立空间直角坐标系，

则，

可得，

不妨设平面的法向量依次为，

且，

则O到平面的距离依次为，

可得，

整理得，

因为，设，，

则，

则，解得，

则，解得，

则，即点到底面的距离为，

所以四面体的体积为.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.在中，内角的对边分别为，则下列说法中正确的有（）

A.若，则面积的最大值为

B.若，则面积的最大值为

C.若角的内角平分线交于点，且，则面积的最大值为3

D.若为的中点，且，则面积的最大值为

【答案】BCD

【解析】对于A，由余弦定理可得，

即，

由基本不等式可得，

即，当且仅当时，等号成立，

所以，

所以A错误；

对于B，由余弦定理可得，

所以，

因为，所以，当且仅当时，等号成立，

所以，即面积的最大值为，故B正确；

对于C，设，，则，，

在和中，分别运用正弦定理，得和.

因为，所以，即，所以，

由余弦定理可得，所以，

，当且仅当时，等号成立，

所以面积的最大值为3，所以C正确；

对于D，设，则，在中，由余弦定理得，解得，则，

所以，所以当即时，，D正确.

故选：BCD.

10.已知函数，则（）

A.是上的奇函数

B.当时，的解集为

C.当时，在上单调递减

D.当时，值域为

【答案】ABD

【解析】对于A，首先的定义域是关于原点对称，

其次，

即是上的奇函数，故A正确；

对于B，当时，，

所以或，

解得或，即当时，的解集为，故B正确；

对于C，不妨取，此时，对，

有，故C错误；

对于D，当时，令，此时，

而，当时，，

从而当时，即值域为.

故选：ABD.

11.已知函数，则下列正确的有（）

A.函数在上为增函数

B.存在，使得

C.函数的值域为

D.方程只有一个实数根

【答案】ABD

【解析】A.当时，，函数在上为增函数，故A正确；

B.当时，，若，则，

即，其中，所以方程存在实数根，故B正确；

C.当时，，函数在上为增函数，此时，

当且时，