因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法。.pdf

因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项

法。

例1】将$x^2+4x+8$看作一个整体，设为$y$，则原式变

为$y^2+3xy+2x^2$。将$y$代入可得

$(x^2+4x+8)^2+3x(x^2+4x+8)+2x^2$。最终结果为

$(x^2+3x+4)^2-x+16$。

例2】设$x^2+5x+2=a$，$x^2+5x+3=b$，则原式变为$ab-

12$。将$a+b$代入可得$(x^2+5x+2)+(x^2+5x+3)=2x^2+10x+5$，

最终结果为$(2x^2+10x+5)^2-169$。

例3】将$x+1$看作一个整体，设为$a$，则原式变为

$(a+2)(a+4)(a+6)(a+8)+15$。将$a+5$代入可得

$(x+6)(x+4)(x+2)(x+10)+15$。

例4】将$a-2$看作一个整体，设为$x$，则原式变为

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$。将$x+2$代入可得$(a-2+2)(a-

2+3)(a-2+4)(a-2+5)-24$，最终结果为$(a^2-5a+10)^2-24$。

例5】设$x^2+x+1=a$，$x^2+x+2=b$，则原式变为$ab-

12$。将$a+b$代入可得$(x^2+x+1)+(x^2+x+2)=2x^2+2x+3$，

最终结果为$(2x^2+2x+3)^2-49$。

板块二：选主元

例1】将$1+a+b+c$看作一个整体，设为$x$，则原式变为

$(x-1)^2+(a+1)(b+1)(c+1)$。展开可得$x^2-

2x+1+ab+ac+bc+2a+2b+2c+1$，最终结果为$(a+b+c+1)^2$。

例2】将$a(6a+11b+4)+b(3b-1)-2$看作一个整体，设为$x$，

则原式变为$x-2$。展开可得$6a^2+11ab+4a+3b^2-b-2$，最终

结果为$(3a+b+1)^2$。

例3】将$2a^2-b^2-ab+bc+2ac$看作一个整体，设为$x$，

则原式变为$x$。展开可得$2a^2-b^2-ab+bc+2ac$，最终结果为

$(a-b+c)^2$。

例4】将$a^2b-ab^2+a^2c-ac^2-3abc+b^2c+bc^2$看作一个

整体，设为$x$，则原式变为$x$。将$a+b+c$看作一个整体，

设为$y$，展开可得$y^2(a-b)^2+y^2(b-c)^2+y^2(c-a)^2$，最终

结果为$(a+b+c)^2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$。

例5】将$y(y+1)(x^2+1)+x(2y^2+2y+1)$看作一个整体，

设为$x$，则原式变为$x$。将$y^2+y+1$看作一个整体，设为

$y$，展开可得$x^2y+2xy^2+2y^3+y$，最终结果为

$(x+y^2)^2$。

例6】将$ab(x^2-y^2)-(a^2-b^2)(xy+1)-(a^2+b^2)(x+y)$看

作一个整体，设为$x$，则原式变为$x$。将$a+b$看作一个整

体，设为$y$，展开可得$(xy-a+b)^2$，最终结果为$(a+b)^2(x-

y)^2$。

例7】将$2x^3-x^2z-4x^2y++2xy^2-y^2z$看作一个整体，

设为$x$，则原式变为$x$。将$x+y+z$看作一个整体，设为

$y$，展开可得$2y(x-y)^2+(y-z)^2(x-z)$，最终结果为

$(x+y+z)^2(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2$。

板块三：双十字相乘

例8】双十字相乘可得$(x+3y-1)(x-y+2)$，展开可得

$x^2+2xy-3y^2+3x+y+2$。

例9】双十字相乘可得$(3x-2y+3)(x+2y-3)$，展开可得

$3x^2+10xy-14y^2+2x-14y-3$。

例10】双十字相乘可得$(2x-3y+4)(3x-2y-5)$，展开可得

$6x^2-23xy+24y^2+2x+23y-20$。

例11】双十字相乘可得$(x-2)(2x-3y+6)$，展开可得

$2x^2-7xy+6y^2+2x-y-12$。

例12】双十字相乘可得$(