2023-2024学年山东省泰安市高二上学期期末考试数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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山东省泰安市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.直线的倾斜角为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题意直线，可得斜率为，

设直线的倾斜角为，其中，

可得，所以，即直线的倾斜角为.

故选：A.

2.在等比数列中，若，则（）

A.6 B.9 C. D.

【答案】A

【解析】因为，所以（负值舍去），

所以.

故选：A

3.点关于直线的对称点的坐标为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由题意，在直线中，斜率为，

垂直于直线且过点的直线方程为，即，

设两直线交点为，

由，解得：，∴,

∴点关于直线的对称点的坐标为，

即，

故选：C.

4.已知直线的方向向量为，则向量在直线上的投影向量坐标为（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】直线l的方向向量为和，

可得，

则向量直线l上的投影向量的坐标为

.

故选：D.

5.已知两个等差数列的前项和分别为和，且，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由都是等差数列，设公差分别为，

则，，

则，

故不妨令，

所以，

.

故选：B.

6.已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截得的弦长的最小值为，则实数的取值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由题意可知，圆的圆心为原点，半径为，

直线交轴于点，当直线与垂直时，

此时，，原点到直线的距离取最大值，即，

因为直线被圆所截得弦长的最小值为，即，解得.

故选：C.

7.已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，是椭圆上关于原点对称的点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

由题意得，设，又，

所以，即，解得，

即，又由三点共线得.

所以，整理得，所以.

故选：B.

8.已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】曲线可化为，

当时，，则，

故此时曲线为椭圆的上半部分；

当时，，则，

故此时曲线为双曲线的上半部分，且渐近线方程为；

直线，表示一组斜率为的平行直线，

如图，当直线过点2,0时，，解得；

当直线与椭圆上半部分相切时，

由，消化简得，

由，解得，

又直线与椭圆上半部分相切，则，故，

要使直线与曲线恰有三个不同交点，

结合图形可得，实数的取值范围为.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知直线，则下列结论正确的是（）

A.若直线与直线平行，则

B.直线倾斜角的范围为

C.当时，直线与直线垂直

D.直线过定点

【答案】BC

【解析】选项A，存在斜率，

直线方程可化为：，

直线也存在斜率，方程可化为，

由，则两直线平行的充要条件为，

即解得或，故A错误；

选项B，由直线的斜率，

则倾斜角的范围为，故B正确；

选项C，当时，直线，斜率为，

又直线的斜率为，则两直线斜率之积为，故两直线垂直，C正确；

选项D，，令，得，

故直线过定点，不过，D错误.

故选：BC.

10.已知曲线（为实数），则下列结论正确的是（）

A.若，则该曲线为双曲线

B.若该曲线是椭圆，则

C.若该曲线离心率为，则

D.若该曲线为焦点在轴上的双曲线，则离心率

【答案】AD

【解析】A选项，若，则，

则曲线为焦点在轴上的双曲线，故A正确；

B选项，曲线是椭圆等价于，解得且，

故B错误；

C选项，若该曲线离心率为，则曲线为椭圆，由B可知且，

当时，焦点在轴，，

，解得,

当时，焦点在轴，，

，解得,

故C错误；

D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，

此时，

，当时，函数单调递增，

所以，故D正确.

故选：AD.

11.如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（）

A.三棱锥的体积为定值

B.若为的中点，则直线平面

C.异面直线与所成角的正弦值的范围是

D.直线与平面所成角的正弦的最大值为

【答案】ACD

【解析】对于A选项，在正四棱柱中，，且，

所以，四边形平行四边形，所以，，

因平面，平面，所以，平面，

因为，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，

所以，为定值，A对；

对于B选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、、，

因为为的中点，则，则，，