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高中数学 同步教学 等差数列的前n项和.ppt

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即时训练2-1:等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a10,S3=S11,则当n为多少时,Sn取得最大值.题型三等差数列前n项和的性质及应用【例3】已知{an}为等差数列,前10项的和为S10=100,前100项的和S100=10,求前110项的和S110.高中·数学高中·数学2.3等差数列的前n项和课标要求:1.掌握等差数列的前n项和公式,了解推导等差数列前n项和公式的方法——倒序相加法.2.能够利用等差数列的前n项和公式进行有关的计算.3.掌握等差数列前n项和的最值问题的解法.4.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.5.理解an与Sn的关系,会利用这种关系解决有关的问题.自主学习知识探究1.数列的前n项和的概念一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+…+an.3.等差数列的前n项和公式首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列{an}的前n项和为Sn=,首项为a1,公差为d,项数为n的等差数列{an}的前n项和为Sn=.5.前n项和的最值设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则(1)当a10,d0时,Sn有最大值S1=a1,无最小值.(2)当a10,d0时,数列{an}只有前面的有限项为非负数,从某项开始其余所有项均为负数,所以Sn有最大值,无最小值.(3)当a10,d0时,数列{an}只有前面的有限项为负数,从某项开始其余所有项均为非负数,所以Sn有最小值,无最大值.(4)当a10,d0时,Sn有最小值S1=a1,无最大值.(5)当d=0时,数列{an}为常数列.(2)若等差数列共有2n-1项,则S2n-1=(2n-1)an;若等差数列共有2n项,则S2n=n(an+an+1).(5)“片段和”性质:等差数列{an}中,公差为d,前k项的和为Sk,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Smk-S(m-1)k,…构成公差为k2d的等差数列.自我检测1.在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S5等于()(A)10(B)20 (C)30 (D)40C2.记在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列的前11项和S11等于()(A)58 (B)88 (C)143 (D)176B解析:因为S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,所以S2+(S6-S4)=2(S4-S2),所以4+(S6-20)=2(20-4),所以S6=48.故选D.3.记等差数列的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则S6等于()(A)42 (B)44 (C)46 (D)48D4.等差数列{an}中,若a1+a4+a7=15,a3+a6+a9=3,则S9=.?答案:275.记等差数列{an}前n项和为Sn.若am=10,S2m-1=110,则m的值为.?答案:6题型一等差数列前n项和的基本运算课堂探究答案:(1)C(2)在等差数列{an}中,a3+a9=27-a6,Sn表示数列{an}的前n项和,则S11等于()(A)18 (B)99 (C)198 (D)297(3)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=.?答案:(2)B(3)-72方法技巧(1)等差数列运算问题的通性通法①等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.②等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.(2)等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设中间三项为a-d,a,a+d;若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(2)因为S4=2+6d=20,所以d=3,故S6=3+15d=48.故选D.(3)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9等于()(A)-6 (B)-4 (C)-2 (D)2解析:(3)法一(基本量法)设公差为d,则8a1+28d=4a1+8d,即a1=-5d,a7=a1+6d=-5d+6d=d=-2,所以a9=a7+2d=-6.法二(性质法)根据等差数列的定义和性质可得S8=4(a3+a6),又S8=4a3,所以a6=0,又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.故选A.题型二等差数列前n项和的最值问题【例2】等差数列{an}的首

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