高中数学 同步教学 数列的性质和递推公式.ppt

题型三由数列的递推公式求其通项公式高中·数学高中·数学第二课时数列的性质和递推公式课标要求:1.了解数列递推公式的概念;知道递推公式是给出数列的一种方法.2.能根据数列的递推公式写出数列.3.能根据数列的通项公式研究数列的单调性,会求数列中的最大(小)项.4.了解数列的周期性,能解决相关的简单问题.自主学习知识探究1.递推公式的定义如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式.拓展:类似bn=an·an+1的式子不是递推公式,它只是说明数列{bn}中的各项是由数列{an}中的项an与an+1的积构成的.2.理解数列的递推公式的注意点(1)与“不一定所有数列都有通项公式”一样,并不是所有的数列都有递推公式.(2)用递推公式给出一个数列,必须给出;①“基础”——数列{an}的第1项(或前几项);②递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示.拓展:数列表示方法的优缺点优点缺点通项公式法便于求出数列中任意指定的一项,利于对数列性质进行研究一些数列的通项公式表示比较困难列表法内容具体、方法简单,给定项的序号,易得相应项要确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难图象法能直观形象地表示出随着序号的变化,相应项变化的趋势数列项数较多时用图象表示比较困难递推公式法可以揭示数列的一些性质,如前后几项之间的关系不容易了解数列的全貌,计算也不方便3.由递推公式求通项公式的方法给出递推公式求通项公式,常用方法有:(1)从特例入手,归纳、猜想数列的通项公式,一般是依次写出前几项,观察项与项的序号的关系,从中寻找规律;(2)从一般入手,抓住递推公式,充分运用迭代、累加、累乘等常用方法推导通项公式.4.数列单调性的判断(1)利用数列单调性的定义:①作差法:即作差an+1-an后与0比较.若an+1-an0对于任意n(n∈N*)恒成立,则数列{an}是递增数列;若an+1-an0对于任意n(n∈N*)恒成立,则数列{an}是递减数列;若an+1-an=0对于任意n(n∈N*)恒成立,则数列{an}是常数列.(2)利用数列的图象直观地判断.5.周期数列的概念对于摆动数列-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,…,我们观察后可以发现,数列的项-1,1重复出现,用公式表示为an=an+2.若记f(n)=an,则可以表示为f(n)=f(n+2),即数列中的项循环出现,我们称此类数列为周期数列.周期数列的递推公式的一般形式为an+k=an(n∈N*,k∈N*,k≥2),如数列1,2,3,1,2,3,1,2,3,…是周期为3的周期数列,满足an+3=an(n∈N*).6.判断周期数列的方法要判断一个数列是否具有周期性或求解一个周期数列,主要方法是通过递推公式求出数列的若干项,观察得到规律或由递推公式直接发现规律.自我检测1.已知an+1-an-3=0,则数列{an}是()(A)递增数列 (B)递减数列(C)常数列 (D)不能确定A解析:an+1-an=30,所以an+1an.故选A.C答案:24.已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+29n+3,则{an}中的最大项是第项.?答案:7题型一利用数列的函数性质判断数列的单调性课堂探究【例1】已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-2n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)判断数列{an}的增减性.方法技巧根据函数单调性的定义,采用作差法或作商法比较an与an+1的大小关系,从而判断数列{an}的单调性,若an+1an恒成立,则{an}是递增数列;若an+1an恒成立,则{an}是递减数列.解:法一an=3n2-n,an+1=3(n+1)2-(n+1),则an+1-an=3(n+1)2-(n+1)-(3n2-n)=6n+20,即an+1an(n∈N*),故数列{an}是递增数列.即时训练1-1:已知数列{an},其通项公式为an=3n2-n(n∈N*),判断数列{an}的单调性.题型二求数列的最大(小)项【例2】已知数列{an}的通项公式an=n2-7n-8.(1)数列中有多少项为负数?解:(1)令an0,即n2-7n-80,得-1n8.又n∈N*,所以n=1,2,3,…,7,数列从第1项至第7项均为负数,共7项.(2)数列{an}是否有最小项?若有,求出其最小项.