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复变函数与积分变换：4-1

一、复数列的极限

1.定义

记作

2

2.复数列收敛的条件

那末对于任意给定的

就能找到一个正数N,

证

定理一

3

从而有

所以

同理

反之,如果

4

从而有

[证毕]

5

课堂练习:

下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.

6

二、级数的概念

1.定义

表达式

称为复数项无穷级数.

其最前面n项的和

称为级数的部分和.

部分和

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收敛与发散

说明:

与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:

8

9

2.复数项级数收敛的条件

证

因为

定理二

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说明

复数项级数的审敛问题

实数项级数的审敛问题

(定理二)

11

解

所以原级数发散.

课堂练习

12

必要条件

重要结论:

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不满足必要条件,

所以原级数发散.

级数发散;

应进一步判断.

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3.绝对收敛与条件收敛

注意

应用正项级数的审敛法则判定.

定理三

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证

由于

而

根据实数项级数的比较准则,知

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由定理二可得

[证毕]

17

非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.

说明

定义

18

所以

综上:

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下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.

而

解

三、典型例题

例1

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所以数列发散.

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例2

解

级数满足必要条件,

但

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例3

故原级数收敛,且为绝对收敛.

因为

所以由正项级数的比值判别法知:

解

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故原级数收敛.

所以原级数非绝对收敛.

例4

解

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四、小结与思考

通过本课的学习,应了解复数列的极限概念;

熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛

的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对

收敛与条件收敛的概念与性质.

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思考题

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思考题答案

否.

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