（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测01一元二次不等式及基本不等式（教师版）.docVIP

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第01课一元二次不等式及基本不等式

考点01：不等式性质的应用

【例1】（多选）对于实数，下列说法正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，

【答案】BC

【分析】利用不等式的性质即可判断选项A、B、C，对D选项取特殊值验证即可.

【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，故A错误；

对于B，因为，所以，，所以，故B正确；

对于C，因为，所以，，所以，故C正确；

对于D，取，满足，而，故D错误.故选：BC.

【例2】已知，，分别求，，，的取值范围．

【答案】详见解析.

【分析】根据不等式的基本性质和反比例函数特点即可求解.

【详解】因为，，所以，即的取值范围是．

由，，得，所以的取值范围是．

由，，得，所以的取值范围是．

易知，而则，所以的取值范围是．

考点02：利用基本不等式求最值(直接法)

【例3】若实数满足，则的最小值为_________．

【答案】

【分析】直接由基本不等式求解即可.

【详解】,当且仅当，即时取到等号.

故答案：.

【变式1】已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为_______.

【答案】

【分析】由已知条件利用基本不等式求解即可．

【详解】因为a＞0，b＞0，4a＋b＝1，所以1＝4a＋b≥＝，

所以≤，≤，当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝时，等号成立，

则ab的最大值为．故答案为：．

【例4】已知正实数满足，则的最小值为（????）

A．20 B．40 C． D．

【答案】C

【分析】由两次应用基本不等式即可求解.

【详解】，

当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故选：C.

【变式2】已知，且，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】由基本不等式求解即可.

【详解】，且，，

当且仅当时等号成立.故答案为：.

考点03：利用基本不等式求最值(配凑法)

【例5】若，则的最值情况是（????）

A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2

【答案】B

【分析】利用基本不等式可得答案.

【详解】若，则，当且仅当即等号成立，所以若时，有最小值为6，无最大值.故选：B.

【变式3】当时，的最小值为10，则（????）

A．1 B． C．2 D．4

【答案】A

【分析】应用基本不等式求解最小值,再根据最小值求参即可.

【详解】当时，,即，故.

故选:A.

【变式4】已知，则的最小值为___________．

【答案】

【分析】将不等式变为，再由基本不等式即可得出答案.

【详解】,当且仅当，

即时取等.故答案为：.

考点04：利用基本不等式求最值(商式)

【例6】函数在上的最大值为_______________．

【答案】

【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得.

【详解】解：因为，，令，则，则，

当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．故答案为：

【变式5】函数的最大值为________.

【答案】

【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可.

【详解】因为，则，所以≤，

当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故答案为：.

【变式6】当时，函数的最小值为（????）

A．B．C．D．4

【答案】B

【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决.

【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：B．

考点05：利用基本不等式求最值(“1”的代换)

【例7】已知正数x、y满足，求的最小值为____________；

【答案】

【分析】利用1的妙用，由利用基本不等式求得结果.

【详解】，

当且仅当，即时取等号，的最小值为.

故答案为：.

【变式7】设，且，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】根据“1”的代换，结合已知可推得，然后根据基本不等式，即可得出答案.

【详解】因为，，所以.

当且仅当，且，即时，等号成立.所以，的最小值为.

故答案为：.

【变式8】若，则的值可以是__________．

【答案】5（答案不唯一，只要不小于即可）

【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.

【详解】因为，所以．

因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，则.故答案为：5（答案不唯一，只要不小于即可）

考点06：利用基本不等式求最值(消参法)

【例8】已知，若，则的最小值为______

【答案】8

【分析】根据题意，由条件可得，然后结合基本不等式即可得到结果.

【详解】因为，且，所以，则，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为8．故答案为:

【变式9】若，，且，则的最小值是（????）

A．5 B．8 C．13 D．16

【答案】C

【分析】由可得，从而将化为，利用基本不等式