（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测04三角函数的运算（教师版）.docVIP

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第04课三角函数的运算

考点01：任意角和弧度制

【例1】（多选）下列说法正确的有（????）

A．若是锐角，则是第一象限角

B．

C．若，则为第一或第二象限角

D．若为第二象限角，则为第一或第三象限角

【答案】ABD

【详解】A选项，是锐角，即，所以是第一象限角，A选项正确.

B选项，根据弧度制的定义可知，B选项正确.C选项，当时，，但不是象限角，C选项错误.D选项，为第二象限角，即，所以为第一或第三象限角，D选项正确.故选：ABD

【变式1】若与的终边互为反向延长线，则有（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】因为与的终边互为反向延长线，所以，，

即，.故选：D.

考点02：扇形的弧长及面积公式

【例2】已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的弧长为______，面积为______

【答案】

【详解】设扇形的半径为，弧长为，

则由已知可得，解得，，所以扇形面积为，

故答案为：；．

【变式2】已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（????）

A．10 B．15 C．20 D．25

【答案】D

【分析】设扇形圆心角为，扇形半径为r，由题可得间关系，后用r表示S，即可得答案.

【详解】设扇形圆心角为，，扇形半径为，，由题有，

则，当时取等号.故选：D

【变式3】中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（????）（参考数据：）

??

A．

B．若，扇形的半径，则

C．若扇面为“美观扇面”，则

D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为

【答案】D

【详解】扇形的面积为，其圆心角为，半径为R，圆面中剩余部分的面积为，

选项A：.故A正确；选项B：由，可得，解得，又扇形的半径，则.故B正确；选项C：若扇面为“美观扇面”，则，

解得.故C正确；选项D：若扇面为“美观扇面”，则，又扇形的半径，则此时的扇形面积为.故D错误.故选：D

考点03：三角函数的定义及其应用

【例3】已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P，若点位于轴上方且.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）由三角函数的定义，，，

两边平方，得则，，，

所以，.

（2）由（1）知，，.

【变式4】如果角的终边在直线上，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为角的终边在直线上，所以.

所以.故选：B.

【变式5】已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.

【详解】由题意知，则原式.故选：B.

考点04：同角三角函数基本关系与诱导公式

【例4】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴的合，终边经过点，且.

(1)求的值：

(2)求的值.

【答案】(1).(2)或.

【详解】（1）由题意知角的终边经过点，且，故，解得，

当时，，则；当时，，则，即.

（2）,故时，，

时，.

【变式6】（多选）以下各式化简结果正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据三角函数的同角基本关系和诱导公式逐一判断即可.

【详解】，故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

，故D错误；故选：ABC

【变式7】已知，则的值为（?????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由平方得，

，故选：A

考点05：齐次式化简求值

【例5】已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)2;(2)

【详解】（1）由，得，解得．

（2）由已知得，，

由（1）得代入，，所以．

【变式8】已知，则__________.

【答案】3

【分析】将已知式中分子，再分子分母同时除以，解方程即可得出答案.

【详解】由题意，即，则.

故答案为：3.

【变式9】已知，则等于（????）

A．4 B．6 C．2 D．

【答案】A

【详解】因为，则，原式.故选：A.

考点06：和、差、倍角的简单化简与求值

【例6】（多选）下列四个选项中，计算结果是的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【详解】对A，，A正确；

对B，，B正确；

对C，，C正确；

对D，，D错误；故选:ABC.

【变式10】在中，已知是的一元二次方程的两个实根，则______．

【答案】

【分析】利用韦达定理，两角和的正切公式，求得的值，可得的值，从而求得的值．

【详解】因为是的一元二次方程的两个