《二项式定理》教材分析.docxVIP

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二项式定理

一、本节知识结构框图

二、重点、难点

重点：用多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理,并会用它解决有关的简单问题.

难点：用多项式运算法则和计数原理推导二项式定理.

三、教科书编写意图及教学建议

在多项式的运算中,二项式定理把展开成单项式之和的公式——有着非常重要的作用.从历史上来看,二项式定理源于解决高次幂开方的问题,当帕斯卡（BlaisePascal,1623-1662）建立了正整数次幂的二项式定理之后,这个定理又被运用于解决自然数幂和、组合理论及概率计算等方面问题.牛顿（IsaacNewton,1642-1727）则把指数从整数推广到了有理数,而他的弟子泰勒（BrookTaylor,1685-1731）则将其进一步推广到泰勒定理,这个定理是引进多项式的微分学的一个重要起点.在中学阶段,二项式定理安排在计数原理、排列组合知识之后,随机变量及其分布知识之前,能让学生看到二项式定理的“联系性”,它既是计数原理和组合知识的应用,也是解决有关概率问题的基础.

4.4二项式定理

1.二项式定理的引入

在引入二项式定理时,教科书主要关注为什么引入和如何引入两个问题.

对于第一个问题,教科书在节引言指出“在数学上有着广泛应用的展开的问题”,说明了二项式定理的作用——广泛应用,体现研究展开式的必要性.事实上,具体有哪些应用,只有在后续概率和微积分的学习中,学生才能有更深入的了解.不过,在教学中,可以从二项式定理起源的角度,作如下的一些简单介绍：

在古代,很多问题的解决需要开方,例如开河、筑堤等水利工程的设计与建造,就会涉及开三次方等计算,就古代的开方算法而言,二项式系数是极为重要的.为了研究各项系数所遵循的规律,就有了各种算术三角形,在我国称为“杨辉三角”,在西方称为“帕斯卡三角”.利用算术三角形,发现了二项式系数的各种性质,乃至一般规律,由此建立了二项式定理.

由此,让学生了解二项式定理是从哪里来的,并初步感受二项式定理的作用,激发学习的兴趣.如果学生意犹未尽,也可以更具体一些,结合“数学探究杨辉三角的性质与应用”中的开方古算问题,让学生站在古人的角度,通过探究算法意识到建立二项式定理的必要性.

第二个问题“如何引入”是本节的重点,也是难点.

二项式定理的一种较为自然的发现方式是观察几个具体的二项展开式,分析展开式的结构,从中发现一般的二项展开式的规律,例如：

,

,

,

……

有些规律是容易发现的,例如项数比幂指数多1,各项中a与b的指数和等于幂指数等.有些规律是不容易发现的,例如任一项的系数乘该项中a的指数,再除以该项的序数,等于下一项的系数.而这个规律是建立二项式定理的关键,它的发现对于学生的观察、分析、归纳、概括等能力的要求较高.

教科书采用另一种方式引入二项式定理,即利用计数原理.这种方式的难点在于跨领域知识的运用,即用计数原理的知识去解决多项式乘积展开的问题,学生是很难想到的.但是一旦建立起知识之间的联系,转换看问题的角度之后,学生又会感到这种方法的巧妙与简单.因此,这种引入方式对于建立不同领域知识之间的联系、灵活运用数学知识是有好处的,而且能潜移默化地让学生看到数学的“整体性”.

2.二项式定理的建立

新知识的学习建立在旧知识的基础上,二项式定理也一样,教科书设计的“探究”,就是让学生从已经学过的n=2,3的情形开始,分为三个层次探究：（1）针对熟知的n=2,3的情形,分析其运算过程,明确多项式是如何相乘的,即展开式的每一项是如何得到的;（2）将分析运算过程发现的方法或规律,尝试着运用到n=4的情形,写出的展开式;

考虑到将二项展开式与计数问题联系在一起的难度,教科书首先重点分析了n=2的情形,然后用一个“思考”指引学生自己模仿写出n=3,n=4情形,

当n=2时,关键是要明确两件事：一是多项式相乘如何转化为计数问题;二是运用分步乘法计数原理确定项数,

关于第一件事,重点在于思考“展开式的每一项是如何得到的”.

①

②

③

④

从①式到③式可以看到,和相乘时,根据多项式的乘法法则,每一个括号中的a或b都要相乘（如①②式）,所以展开式的每一项就有两个因子（如③式）.这相当于两个位置,一个位置从第一个括号的a或b中选择,另一个位置从第二个括号的a或b中选择.这样,根据对多项式乘法法则的分析,我们就将多项式乘积展开的问题转化为一个计数问题.

关于第二件事,明确了展开式的每一项就是2个中各取