高考数学复习：圆锥曲线的综合问题.ppt

第九节圆锥曲线的综合问题

讲核心考点·全突破考点一圆锥曲线的定点、定值问题考点二圆锥曲线中的探索性问题考点三直线与圆锥曲线相交弦及中点弦问题练考题预测·全过关课时分层提升练内容索引

考点一

【对点练通】(2019·北京高考)已知椭圆C:=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程.(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.

【解析】(1)由已知,c=1,b=1,又a2=b2+c2,所以a2=2,所以C的方程为+y2=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由消去y得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0,①

因为直线与椭圆有两个交点,所以必须Δ0,②x1+x2=,x1x2=,③直线AP方程为y=,与y=0联立得x=,即M,同理,N,(y1-1)(y2-1)=(kx1+t-1)(kx2+t-1)=k2x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=,

考点二

【对点练通】(2020·毕节模拟)已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2).(1)求过点P(1,2)的直线l的斜率k的取值范围,使l与C只有一个交点.(2)是否存在过点P的弦AB,使AB的中点为P?

【解析】(1)①当k存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),代入双曲线C的方程,整理得(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0.(*)当2-k2=0,即k=±时,直线与双曲线的渐近线平行,此时只有一个交点;当2-k2≠0时,令Δ=0,得k=,此时只有一个公共点.②当k不存在时,直线l的方程为x=1,而x=1为双曲线的一条切线.所以当k不存在时,直线与双曲线只有一个公共点.

综上所述,当k=±或k=或k不存在(x=1)时,l与C只有一个交点.(2)假设以P为中点的弦AB存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两根,则由根与系数的关系得=1,所以k=1.所以这样的弦存在,弦所在直线的方程为y=x+1,即x-y+1=0.

考点三

【对点练通】1.(2020·曲靖模拟)已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)作直线l与双曲线交于A,B两点,使点P是线段AB的中点,那么直线l的方程为 ()A.2x-y-1=0 B.2x+y-3=0C.x-2y+1=0 D.不存在

【解析】选D.根据题意,设过点P(1,1)的直线方程为y=k(x-1)+1或x=1,当k存在时,有得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0(*),当直线与双曲线有两个不同的交点时,必有Δ=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)0,解得k,

又方程(*)的两个不同的根是两交点A,B的横坐标,所以x1+x2=-,又P(1,1)为线段AB的中点,所以=1,即-=1,解得k=2,不满足k,当直线为x=1时不满足条件,所以符合条件的直线l不存在.

2.抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为3,则k值为______________.?【解析】直线方程与抛物线方程联立,消去y得:4x2-4(1-k)x+k2=0,Δ=16(1-k)2-16k2=16(1-2k)0,所以k.又x1+x2=1-k,x1x2=.依题意得:3=|x1-x2|,即9=(x1+x2)2-4x1x2=(1-k)2-k2,解得:k=-4.答案:-4