课标专用天津市2024高考数学二轮复习题型练5大题专项三统计与概率问题.docxVIP

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题型练5大题专项(三)统计与概率问题

题型练第58页?

1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球竞赛允许不同协会的运动员组队参与.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手两名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参与竞赛.

(1)设A为事务“选出的4人中恰有两名种子选手,且这两名种子选手来自同一个协会”,求事务A发生的概率;

(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.

解:(1)由已知,有P(A)=C2

所以,事务A发生的概率为635

(2)随机变量X的全部可能取值为1,2,3,4.

P(X=k)=C5kC3

所以,随机变量X的分布列为

X

1

2

3

4

P

1

3

3

1

随机变量X的数学期望E(X)=1×114+2×37+3×37+4

2.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:

电影类型

第一类

其次类

第三类

第四类

第五类

第六类

电影部数

140

50

300

200

800

510

好评率

0.4

0.2

0.15

0.25

0.2

0.1

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

假设全部电影是否获得好评相互独立.

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;

(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;

(3)假设每类电影得到人们喜爱的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜爱,用“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜爱(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)的大小关系.

解:(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事务A,第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部).

P(A)=50140+50+300+200+800+510=502000=

(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事务B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.

(3)由题意可知,定义随机变量如下:

ξk=0

则ξk明显听从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:

第一类电影:

ξ1

1

0

P

0.4

0.6

D(ξ1)=0.4×0.6=0.24;

其次类电影:

ξ2

1

0

P

0.2

0.8

D(ξ2)=0.2×0.8=0.16;

第三类电影:

ξ3

1

0

P

0.15

0.85

D(ξ3)=0.15×0.85=0.1275;

第四类电影:

ξ4

1

0

P

0.25

0.75

D(ξ4)=0.25×0.75=0.1875;

第五类电影:

ξ5

1

0

P

0.2

0.8

D(ξ5)=0.2×0.8=0.16;

第六类电影:

ξ6

1

0

P

0.1

0.9

D(ξ6)=0.1×0.9=0.09.

综上所述,D(ξ1)D(ξ4)D(ξ2)=D(ξ5)D(ξ3)D(ξ6).

3.2024年在人民大会堂实行了庆祝改革开放40周年大会.会后,央视媒体平台,收到了来自全国各地的纪念改革开放40年改变的老照片,并从众多照片中抽取了100张照片参与“改革开放40年图片展”,其作者年龄集中在[25,85]之间,依据统计结果,作出频率分布直方图如下:

(1)求这100位作者年龄的样本平均数x和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表);

(2)由频率分布直方图可以认为,作者年龄X听从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布,求P(60X73.4);

②央视媒体平台从年龄在[45,55]和[65,75]的作者中,依据分层抽样的方法,抽出了7人参与“纪念改革开放40年图片展”表彰大会,现要从中选出3人作为代表发言,设这3位发言者的年龄落在区间[45,55]的人数是Y,求变量Y的分布列和数学期望.

附:180≈13.4,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σXμ+σ)≈0.6827,P(μ-2σXμ+2σ)≈0.9545.

解:(1)这100位作者年龄的样本平均数x和样本方差s2分别为

x=30×0.05+40×0.1+50×0.15+60×0.35+70×0.2+80×0.15=60,

s2=(-30)2×0.05+(-20)2×0.1+(-10)2×0.15+0×0.35+102×0.2+202×0.15=180.

(2)①由(1)知,X~N(60,180),

从而P(60X73.4)=12P(60-13.4X60+13.4)≈0.34135

②依据分层抽样的原理,可知这7人中年龄在[45,