《机械系统动力学》课件第三章 机械系统运动微分方程的求解1.ppt

3-1-4非线性系统

???2.平均法联立(d)(e)得由于振幅和相位是关于位移响应的慢变参数，在一个运动周期范围内平均化得平均法的计算公式3-1-4非线性系统

???例：用平均法求解Duffing方程设方程的解：平均法的计算公式为：3-1-4非线性系统

???例：用平均法求解Duffing方程设方程的解：平均法的计算公式为：3-1-4非线性系统

???代入Duffing方程：即微分方程组解得：由初始条件：3-1-4非线性系统

???Duffing方程的解3-1-2多自由度系统的振动2.两个自由度振动系统的谐迫振动动力吸振器该方程一般有唯一解，其解答为：即质点m1的振动位移振幅为0式中：当时弹簧k2作用于质点m1的力为，在任何瞬时恰好与激励力大小相等，方向相反，使得原来的主系统在简谐力作用下的强迫振动位移响应完全消失，达到很好的减振效果。动力吸振器的工作原理3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动振型叠加法1）多自由度振动系统强迫振动数学模型激励荷载式中：阻尼矩阵刚度矩阵质量矩阵位移列向量3-1-303-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动振型叠加法2）主振型的加权正交性求出主振型向量，将n个主振型向量用一个矩阵表示即称为主振型矩阵对于多自由度系统，可以按照下式求其n个固有频率再由3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动振型叠加法主振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性即有特征方程证明：为系统的第k阶固有频率和主振型，对于任意两个不同的主振型向量两边分别左乘和得3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动振型叠加法证明：对(d)式两边转置。注意到刚度矩阵K和质量矩阵M的对称性，有由于(c)-(e)式得：因此有即主振型关于质量矩阵的加权正交性。将(f)代入(c)式得即主振型关于刚度矩阵的加权正交性3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动振型叠加法由于主振型关于刚度矩阵和质量矩阵的加权正交性，若主振型矩阵为主刚度矩阵主质量矩阵则有3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动振型叠加法3）方程的解耦得：考虑方程3-1-30中无阻尼时的情形，即C=0，有阻尼的情形，若阻尼可表示为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合即也可采用振型叠加法求解。作变量代换两边左乘根据主振型关于刚度矩阵和质量矩阵的加权正交性，3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动振型叠加法由于主质量矩阵和主刚度矩阵为对角矩阵，上式展开就可得并令称广义载荷3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动振型叠加法由式3-1-32两边同除，并令4）求解主坐标下的振动方程3-1-32根据Duhamel积分将上式回代到可得到系统的位移动力学响应。3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动振型叠加法例：图示无阻尼二自由度系统，若时，，为单位阶跃函数，用振型叠加法求时域响应。解：1.建立系统运动方程3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动振型叠加法解：1.建立系统运动方程