专题20 直线方程应用-2025年高考数学一轮复习知识清单（全国通用） （解析版）.docx

专题20直线方程应用

目录

TOC\o1-1\h\u题型一：斜率几何意义 1

题型二：倾斜角范围最值 4

题型三：函数值域型求倾斜角 7

题型四：直线方向向量 10

题型五：含参直线过定点 11

题型六：双直线含参型定圆 14

题型七：截距式应用 17

题型八：直线一般式方程理论 19

题型九：直线光学性质 21

题型十：两点距离公式应用 26

题型十一：平行线应用 29

题型十二：对称：“将军饮马”型最值 32

题型十三：绝对值型 35

题型十四：对称：叠纸型 38

题型一：斜率几何意义

斜率型分式几何意义

斜率型分式几何意义

若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).。

若满足

1．（24-25高二上·江西抚州·阶段练习）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点Px,y是阴影部分（包括边界）的动点.则的最小值为（????）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解.

【详解】记，则为直线的斜率，故当直线与半圆相切时，斜率最小，设，则，解得或（舍去），

即的最小值为.故选：C.

2．（20-21高一下·辽宁大连·期中）设函数的最大值为，最小值为，则（????）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】设，则可根据的几何意义求出满足的关系，从而可得正确的选项，也可利用辅助角公式求出函数的最值.

【详解】法1：，故f(x)的定义域为，

当时，，此时，.当时，，

设，若，则，当且仅当时等号成立，故，

若，则，当且仅当时等号成立，故，

又的几何意义为圆上的动点与连线的斜率，

而的轨迹为如图所示的两条射线，

对于给定的，分别过的切线的斜率的较大者、较小者，

设切线斜率为，则切线的方程为：，整理得到：，故，

整理得到，故，故A正确，B错误.

而，因，故，故CD错误.

故选：A.

法2：设，则，整理得到：，

若，，此时，.若，则，

其中因，故，

故，整理得到：①，

此时，故①的解为，

其中为方程的根，

故，故A正确，B错误.

而,因为，当且仅当时等号成立，故，故排除CD.

综上，，故选：A.

3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案．

【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率，

画出函数的图象，如图，

直线的斜率分别为，，，而，

所以，，的大小关系是.故选：A

4．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（????）

A．-1 B． C． D．0

【答案】BC

【分析】根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围.

【详解】由表示与点所成直线的斜率，

又是在部分图象上的动点，图象如下：

如上图，，则，只有B、C满足.故选：BC

5．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围是．

【答案】

【分析】先分析和的几何意义；再利用数形结合思想和直线与圆的位置关系列出关系式求解即可.

【详解】.

的几何意义为表示以点为圆心，为半径的圆.

的几何意义为过点Px,y和点的直线斜率，点Px,y为以点为圆心，为半径的圆周上任一点.结合图形可知：当直线与圆相切时斜率可以取到最大值和最小值.

设直线的斜率为，则直线方程为：，即.令，

解得：或，即的取值范围为，所以的取值范围为.故答案为：

题型二：倾斜角范围最值

斜率与倾斜角关系是正切图像

斜率与倾斜角关系是正切图像

由正切图象可以看出：①当α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，斜率k∈[0，＋∞)且随着α增大而增大；

②当α＝eq\f(π,2)时，斜率不存在，但直线存在； ③当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，斜率k∈(－∞，0)且随着α增大而增大．

1．（24-25高二上·安徽滁州·阶段练习）过，两点的直线的倾斜角的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用斜率的定义与公式得到的范围，进而得解.

【详解】设该直线的倾斜角为，则，因为，，所以，因为，所以，则，所以.故选：C.

2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范