类型3 动态问题 专项练习--2025年中考数学一轮复习.docx

类型3动态问题

1.运动型问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点(或线或面)，并对这些点(或线或面)在运动变化的过程中相伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考查.运动型问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性.

2.解决运动型问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握动点(或线或面)运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量、不变关系和特殊关系.尽管一些试题大多属于静态的知识和方法，然而，这些试题中常常渗透着运动与变化的思想方法，需要用运动与变化的观点去研究和解决.

3.运动型问题有时把方程、不等式联系起来.当一个问题是求有关图形变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求图形之间的特殊位置关系和一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解.

【例1】如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C,过点C作CD⊥OB交AB于点D,点P是边OA上的动点.当PC+PD最小时,OP的长为()

A.12B.34C.1D.

【解析】本题考查轴对称法确定线段和的最小值、平行线的判定和性质、平行线分线段成比例定理.如图，作点C关于直线AO的对称点,交⊙O于点E,连接ED,交AO于点P,易知此时PC+PD的值最小.∵CD⊥OB,∴∠DCB=90°.又∠AOB=90°,∴CDAO,∴BCBO=CDAO.∵OC=2,OB=4,∴BC

【答案】B

【例2】如图1,△ABC中,∠ABC=60°,D是BC边上的一个动点(不与点B,C重合),DE∥AB,交AC于点E,EF∥BC.交AB于点F.设BD的长为x,四边形BDEF的面积为y,y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为(2,3),则AB的长为.

【解析】本题考查动点问题与函数图象的结合、特殊角的三角函数值.由题图2可知,BC=4.当BD=2时,四边形BDEF的面积为3,此时作FH⊥BC于点H,∴3=2·FH,.∴FH=32.在Rt△BHF中,∠ABC=60°,∴BF=32sin60°=3.∵此时D为BC中点,且

【答案】23

【例3】如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=60°,点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,过点P作PQ⊥AB于点Q,作PM⊥AD交直线AB于点M,交直线BC于点F.设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S(平方单位)，点P运动时间为t(秒).

(1)当点M与点B重合时,求t的值;

(2)当t为何值时,△APQ与△BMF全等；

(3)求S与t的函数关系式；

(4)以线段PQ为边,在PQ右侧作等边三角形PQE,当2≤t≤4时,求点E运动路径的长.

【解】(1)∵菱形ABCD中,∠BAD=60°,

∴△ABD为等边三角形，

∴当点P在AD边中点时,PB⊥AD,点M与点B重合,

∵AB=4,

∴

∴t=2.

(2)依题意,△APQ和△BMF都是直角三角形，

且∠PAQ=∠FBM=60°,

∴当AP=BM时,△APQ≌△BMF.

①如图1,当0t≤2时,

∵AP=t,

∴AM=2t.

∵AB=4,

∴BM=4-2t.

∴4-2

②如图2,当2t≤4时,

∵AP=t,

∴AM=2t.

∵AB=4,

∴BM=2t-4.

∴2t-4=t,

∴t=4.

∴当t=43或

(3)①如图3,当0t≤2时,重叠部分是△PMQ,

S

②如图4，当2t≤4时，重叠部分是四边形PQBF,

S=S△PQM-S△BFM

=

=

=

(4)如图5,∵在Rt△PQM中,∠PMQ=30°,

∴点E是斜边PM中点.

当t=2时,点P在AD边中点P1,此时

点E为P1B中点E1.

当t=4时,点P在点D位置,点E为DM1中点E1,同时也是BC的中点.

∴2≤t≤4时，点E的路径长为线段E1E2的长度.

方法一:过点E1作E1H⊥DE?于点H.

在Rt△E?HE?中，E

∴

方法二:过点E2作E?N⊥AB于点N,

在Rt△E?NB中,E2B=2,

∠

∴

在Rt△E?NA中,AN=AB+BN=4+1=5,

A

由题意可得点E1是AE1中点,

故E

1.如图,在□ABCD中,∠A=60°,AB=