【八年级上册数学苏科版】第一章 全等三角形（4类知识拓展）.docxVIP

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第一章全等三角形全等三角形模型归纳（知识拓展）

知识拓展

拓展知识模型

拓展1双垂直模型

一、双垂直模型

①双垂直中的角度关系

②双垂直中的全等关系

∠A=∠C

∠A=∠C，∠AFB=∠E

若AF=CE，则△ABF≌△CBE

△ABC、△BEF为等腰直角三角形

典例1

例1如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线与F，E为垂直，则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC﹢CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE．其中正确结论的个数是（）．

A．1 B．2 C．3 D．4

跟踪训练1

如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，DF=5，AF=3，则CF=_______．

拓展2三垂直模型

二、三垂直模型

模型描述

△ABC是等腰直角三角形，

图①为一条直线经过直角顶点A，过△ABC的外侧，

图②、③为一条直线经过直角顶点A，过△ABC的内侧，

BM与CN分别垂直于过A点的直线．

核心结论：△ABM≌△CAN（AAS）

图①：MN=BM﹢CN图②：MN=CN﹣BM图③：MN=BM﹣CN

例2如图，锐角△ABC分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为M，N．求证：EM﹢FN=AB．

例3．如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．

（1）证明：DE=BD﹢CE．

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD﹢CE是否还成立？如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图（3），D、E是直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=

∠BAC，试判断△DEF的形状．

跟踪训练2

王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合．

（1）求证：；

（2）求两堵木墙之间的距离．

??

拓展3手拉手模型

三、手拉手模型

模型要点：两个等腰三角形共顶点

常考图形

等边三角形手拉手

等腰直角三角形（正方形）手拉手

核心结论：

①△ABE≌△CBD；AE=CD

②∠AFC=∠EFD=60°

核心结论：

①△ABG≌△CBE；AG=CE

②∠AHC=∠GHE=90°（AG⊥CE）

例4

如图，正方形BAFE与正方形ACGD共点于，连接、，求证：=并求出的度数.

例5

小明和同学小颖在学习了全等三角形后，研究了以下问题：

（1）探索：如图2，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，试说明：BD=CE．

（2）拓展：如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．试判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

跟踪训练3

如图，为线段上一点，分别以、为边在同侧作等边和等边，交于点，交于点，求证：．

拓展4半角模型

四、半角模型

模型描述

从\t/item/%E5%8D%8A%E8%A7%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B/_blank正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线AE、AF，并连接EF构成的几何模型

辅助线画法：延长CB，使BF′=DF，连接AF′（本质：旋转△ADF至△ABF′）

核心结论：△ADF≌△ABF′（SAS），△AEF≌△AEF′（SAS），EF=DF﹢BE

例6：如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．

跟踪训练4

如图，在四边形ABCD中，E、F分别是线段BC、CD上的点，且BE+FD=EF.求证：.

过关训练

1．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（）

A．8 B．4 C．3 D．2

2．如图，，则（???）

A． B． C． D．

3．如图，为等腰直角三角形，，．

(1)求证：；

(2)求证：

4．如图，点C为线段上一点，在，中，，，，