4.3.1等比数列的概念 课件（共26张PPT）-高中数学人教版(2019)选择性必修二.pptxVIP

4.3.1等比数列的概念

高二年级数学

一、复习回顾

1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.

2.等差数列的通项公式首项为a₁,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a₁+(n-1)d.

思考：类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉

得还有怎样的数列是值得研究的?

二、探究新知

1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：

9,9²,9³,.…,91°;

100,100²,100³,..,100¹°;

5,5²,5³,..,510

2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”,那么从第1天开始，每

天得到的“锤”的长度依次是

①

②③

二、探究新知

3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是

2,4,8,16,32,64,.….⑤

4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r,那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是

a(1+r),a(1+r)²,a(1+r)³,a(1+r)⁴,a(1+r)⁵.⑥

二、探究新知

探究类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律?你发现了什么规律?

如果用{a,}表示数列①,那么有

a=9,

规律从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9.

如果用{a,}表示数列②,那么有

如果用{a,}表示数列③,那么有

如果用{a,}表示数列④,那么

如果用{a,}表示数列⑤,那么有

如果用{a,}表示数列⑥,那么有

规律：上述六组数列中，每一项与前一项的比都等于同一个常数.

二、探究新知

思考类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗?

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母9表示(显然q≠0).

符号语言

课堂练习

1.判断下列数列是否是等比数列.如果是，写出它的公比.

(1)3,9,15,21,27,33;X

(2)4,-8,16,-32,-128.√q=-2

(3);X

(4)1,1.1,1.21,1.331,1.4641;√q=1.1

课堂练习

思考第(2)组与第(4)组数列，相邻三项有什么规律?

(2)4,-8,16,-32,64,-128;

(4)1,1.1,1.21,1.331,1.4641.

与等差中项类似，如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G²=ab.

二、探究新知

探究你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗?

设一个等比数列{a}的公比为9.根据等比数列的定义，可得an+1=an·q.

所以a₂=a₁q,a₃=a₂q=(a₁q)q=a₁q²,

a₄=a₃q=(a₁q²)q=a₁q³,●●●●●●

由此可得an=a₁q-¹(n≥2).

又a₁=a₁q⁰=a₁q¹-,这就是说，当n=1时上式也成立.因此，

首项为a₁,公比为9的等比数列{an}的通项公式为an=a₁q⁻.

二、探究新知

探究你还可以用其他方法推导等比数列的通项公式吗?设一个等比数列{an}的公比为9.根据等比数列的定义，可得

an+1=an·q,即

所以

左右两侧分别依次相乘

化简得到a=a₁q-¹(n≥2).

又a₁=a₁q⁰=a₁q¹-¹,这就是说，当n=1时上式也成立.因此，

首项为a₁,公比为9的等比数列{an}的通项公式为an=a₁q-¹.

二、探究新知

探究：类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪

类函数建立相似的关系?

等比数列{an}的第n项an是指数函数

·q*(x∈R)当x=n时的函数值，

即a