人教版数学八年级上册考点讲解+课后练习第4课时 最短路径（原卷版）.doc

第四课时——最短路径

知识点一：最短路径：

最短路径基本原理：

①两点之间，线段。

②点到直线的距离。

③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离。

基本类型：

类型一：如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得MP＋MQ的值最小。

方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段的交点即为要找的点M。

解：如图，作点P关于直线l的对称点p’。连接P’Q，P’Q与直线l交于点M，则此时MP＋MQ最小。

证明：∵P与P’关于直线l对称

∴直线l是PP’的

∴MPMP’

∴MP＋MQ＝＋MQ＝。

∴MP＋MQ此时有最小值，为的长度

1．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8km，P，Q两地到l的距离分别为2km，5km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）

A． B．

C． D．

2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC＝4，则△BDM周长的最小值是．

第2题第3题

3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝16，D为AB的中点，P为BC上一个动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是．

4．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．则△APC周长的最小值为（）

第4题第5题

A．10 B．11 C．11.5 D．13

5．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为cm时，线段CQ+PQ的和为最小．

6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（）

A．15 B．17 C．18 D．20

类型二：如图，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小。

方法点拨：分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’P’’。P’P’’与OM、ON的交点A与B即为要找到的点。

解：如图，分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’P’’。P’P’’与OM、ON的分别交于点A与点B，连接PA、PB以及AB，此时△PAB的周长最小。

证明：∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称

∴OM是PP’的，PP’’是ON的。

∴APAP’，BPBP’’

∴＝＋AB＋＝

∴△PAB的周长最小。

7．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（）

A． B．

C． D．

8．如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．

9．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）

第9题第10题

A．40° B．100° C．140° D．50°

10．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是8cm，则∠AOB的度数是（）

A．30° B．40° C．50° D．60°

11．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，则△PMN周长为（）

第11题