（教师版） 第07讲 正方形.pdf

正方形

模块一正方形的性质和判定

模块二弦图

模块三垂直且相等模型

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模块一正方形的性质和判定

1．定义：四个角相等、四条边也相等的四边形叫作正方形

2．性质：正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的一切性质．

性质1：正方形的四个内角都相等，且都为，四条边都相等．



性质2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角．

性质3：正方形具有4条对称轴，两条对角线所在的直线和过两组对边中点的两条直线．

另外，由正方形的性质可以得出：

（1）正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形．

（2）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半．

3．判定：判定一个四边形是正方形，除了定义之外，还可以采用以下方法：

（1）先证明是矩形，再证明该矩形有一组邻边相等，或对角线互相垂直．

（2）先证明是菱形，再证明该菱形的一个角是直角，或两条对角线相等．

模块二弦图及相关模型

1．内弦图2．外弦图

（1）关于两个弦图的做法：

内弦图：在正方形ABCD的各边上分别取E、F、G、H四个点，使得AEDHCGBF，连

接EH、HG、GF、FE可以得到内弦图．

外弦图：在正方形ABCD内，分别取点E、F、G、H四个点，连接AH、BE、CF、DG，使得

DAHCDGBCFABE，就可以得到外弦图．

（2）关于弦图的作用：

由弦图的做法，我们知道会产生四个全等的直角三角形，所以我们在平时的测试中会遇到这两

个弦图或者其中的一部分，我们会常利用这两个弦图去构造全等去解决一些难题。具体应用：①证

明勾股定理；②解决复杂的面积问题；③构造全等三角形，求边的关系．

△ABC

（3）弦图常见辅助线添加方法：（是等腰直角三角形）

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模块三垂直相等模型

1．模型I

2．模型II（母子型）

变型（M为BE的中点，O、O分别为正方形的中心）



3．模型III（H为DF的中点）

【教师备课提示】讲模型3时，铺垫：倍长证垂直相等当要证明的的两条边垂直且相等的时候，两

条边在同一个三角形中，通常要倍长一条边，证垂直相等，

如图要证明ABCD，且ABCD时，只需要延长CB到

点D使BDBC，连接AD，只需证明ACAD，且

ACAD；最后总结证明垂直且相等的方法：

1．构造全等

当要证明的的两条边垂直且相等的时候，两条边没有在同一个三角形中，通常要

构造两个边所在的三角形全等．

2．倍长证垂直相等

当要证明的的两条边垂直且相等的时候，两条边在同一个三角形中，通常要倍长

一条边，证垂直相等，如图要证明ABCD，且ABCD时，只需要延长CB到

点D使BDBC，连接AD，只需证明ACAD，且ACAD．

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例题1

（1）如图1-1，等边△BCP在正方形ABCD