浙江专用备战2025年高考数学考点一遍过考点02命题及其关系充分条件与必要条件含解析.docxVIP

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考点02命题及其关系、充分条件与必要条件

1．了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义及其相互之间的关系.

2．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能推断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.

一、命题及其关系

1．命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫真命题，推断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

命题

表述形式

原命题

若p，则q

逆命题

若q，则p

否命题

若，则

逆否命题

若，则

(2)四种命题间的关系

(3)常见的否定词语

正面词语

=

()

是

都是

随意(全部)的

任两个

至多有1(n)个

至少有1个

否定词

()

不是

不都是

某个

某两个

至少有2(n+1)个

1个也没有

3．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

【提示】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必需保留大前提，也就是大前提不动．

二、充分条件与必要条件

1．充分条件与必要条件的概念

(1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)若p?q且qp，则p是q的充分不必要条件；

(3)若pq且q?p，则p是q的必要不充分条件；

(4)若p?q，则p是q的充要条件；

(5)若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.

2．必记结论

(1)等价转化法推断充分条件、必要条件

①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件；

②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件；

③p是q的充要条件是的充要条件；

④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.

(2)集合推断法推断充分条件、必要条件

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x)}，q：B={x|q(x)}，则

①若，则p是q的充分条件；

②若，则p是q的必要条件；

③若，则p是q的充分不必要条件；

④若，则p是q的必要不充分条件；

⑤若，则p是q的充要条件；

⑥若且，则p是q的既不充分也不必要条件.

考向一四种命题的关系及其真假的推断

四种命题的关系及其真假的推断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他学问点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下：

1．推断四种命题间关系的方法

①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时留意敏捷应用.

2．命题真假的推断方法

①给出一个命题，要推断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．

②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.

典例1已知命题：“若a＜b，则ac2＜bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是

A．0 B．1

C．2 D．4

【答案】C

【解析】原命题：“若，则”，当时不成立，所以为假命题；则它的逆否命题也为假命题；

其逆命题为“若，则”，为真；所以其否命题也为真命题；

故命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是2.

故选C.

1．设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是

A．逆命题与否命题均为真命题

B．逆命题为假命题，否命题为真命题

C．逆命题为假命题，逆否命题为真命题

D．否命题为假命题，逆否命题为真命题

典例2命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是

A．若不是偶数，则与不都是偶数

B．若不是偶数，则与都不是偶数

C．若是偶数，则与不都是偶数

D．若是偶数，则与都不是偶数

【答案】A

【解析】命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是“若不是偶数，则与不都是偶数”.

故选A.

2．命题“若，则”的逆否命题是

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

考向二充分、必要条件的推断

充分条件与必要条件的推断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查学问面广，常与函数、不等式、三角函数、平面对量、立体几何、解析几何等学问综合考查.常见的解法如下：

1．命题推断法

设“若p，则q”为原命题，那么：

(1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；

(2)原命题为假，逆命题为真时，则p是q的必要不充分条件；

(3)当原命题与逆命题都为真时，则p是q的充要条件；

(4)当原命题与逆命题都为假时，则p是q的既不充分也不必要条件．