精品解析：北京市清华大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学调研数学试卷（原卷版）.docxVIP

高22级开学调研试卷

数学

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合，集合，那么等于（）

A. B. C. D.

2.设复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.设，且，下列不等式恒成立的是（）

A. B.

C. D.

4.下列函数中，在区间上单调递增的是（）

A. B.

C. D.

5.若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

6.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，则线段的中点的纵坐标为（）

A. B. C.3 D.4

7.在中，，则（）

A. B. C. D.

8.已知．则“”是“”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

9.随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：，）（）

A.秒 B.秒 C.秒 D.秒

10.一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（）

A. B. C. D.

二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.

11.已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．

12.已知平面内四个不同的点满足.，若，则______.

13.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍[chúméng]”的五面体（如下图），四边形ABCD为矩形，棱.若此几何体中，，和都是边长为的等边三角形，则此几何体的体积为______.

14.已知函数，

①当时，的值域为______；

②若关于的方程恰有个不同的实根，则的取值范围是______.

15.已知数列满足，则

①当时，存在，使得：

②当时，为递增数列，且恒成立；

③存在，使得中既有最大值，又有最小值；

④对任意的，存在，当时，恒成立.

其中，所有正确结论的序号为______.

三、解答题共6道小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程

16.已知函数，其中.请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，并解答下列问题.

条件①：；

条件②：最大值为；

条件③：在区间上单调，且最大值为；

（1）求函数的对称中心；

（2）若方程在区间内有且仅有1个实根，求m的取值范围.

17.在四棱锥中，分别为的中点，平面，.

（1）若平面，求证：；

（2）若，直线与平面所成的角为，求的长.

18.某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过科普测试获得相应科普过程性积分.现从该校随机抽取60名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：

科普测试成绩x

科普过程性积分

人数

3

20

2

10

1

15

0

15

用频率估计概率

（1）从该校全体学生中随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不低于2分的概率；

（2）从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为6分的概率；

（3）从该校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不超过1的概率估计值记为，这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不低于1的概率估计值记为，试判断和的大小（结论不要求证明）.

19.已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为.上、下顶点分别为，且面积为2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上一点（不与顶点重合），直线与x轴交于点M，直线、分别与直线交于点N、D，求证：与的面积相等.

20.设函数，为曲线在处的切线.

（1）求方程；

（2）求的极值；

（3）若曲线除了切点之外都在直线上方，求实数的取值范围.

21.设，且都是奇数，m行n列数表满足.对任意的，都有.记，若，则称第i行为“正行”，若，则称第j列为“负列”，记A中正行与负列的数目之和为.

（1）设，直接写出的值：

（2）求证：；

（3）求的最大值.