专题20函数与相似综合问题-【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）.pdfVIP

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题20函数与相似综合问题

经典例题

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【例1】．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x+bx+c与x轴交于点A、B两点，其中A（1，

0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图1，过点B作x轴垂线，在该垂线上取点P，使得△PBC与△ABC相似，请求出点P坐标；

（3）如图2，在线段OB上取一点M，连接CM，请求出CM+BM最小值．

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【分析】（1）将点A（1，0），点C（0，3）代入y＝x+bx+c，即可求解析式；

（2）分两种情况讨论：①当∠PCB＝∠ACB时，△CAB≌△CPB（ASA），求得P（3，2）；②当∠CPB

＝∠ACB时，△CAB∽△PCB，由＝，求得P（3，9）；

（3）过点B作直线l与x轴成角为30°，过点C作CN⊥l交于点N，交x轴于点M，此时CM+BM

的值最小，求出∠OCM＝30°，在求出CM＝2，OM＝，MB＝3﹣，MN＝，所以CM+

BM的值最小为．

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【解析】（1）将点A（1，0），点C（0，3）代入y＝x+bx+c，

得，

∴，

∴y＝x2﹣4x+3；

（2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，

解得x＝3或x＝1，

∴A（1，0），

∴AB＝2，

∵OB＝OC，

∴∠CBO＝45°，

∵BP⊥x轴，

∴∠CBP＝45°，

①当∠PCB＝∠ACB时，△CAB≌△CPB（ASA），

∴AB＝BP，

∴BP＝2，

∴P（3，2）；

②当∠CPB＝∠ACB时，△CAB∽△PCB，

∴＝，

∵BC＝3，

∴BP＝9，

∴P（3，9）；

综上所述：△PBC与△ABC相似时，P点坐标为（3，9）或P（3，2）；

（3）过点B作直线l与x轴成角为30°，过点C作CN⊥l交于点N，交x轴于点M，

∵∠OBN＝30°，

∴MB＝2MN，

∴MN＝MB，

∴CM+BM＝CM+MN＝CN，

此时CM+BM的值最小，

∵∠CBO＝45°，∠OBN＝30°，

∴∠BCN＝15°，

∵∠OCB＝45°，

∴∠OCM＝30°，

∴CM＝＝＝2，OM＝OC•tan30°＝，

∴MB＝3﹣，

∴MN＝，

∴CN＝CM+MN＝2+＝，

∴CM+BM的值最小为．

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【例2】．已知，抛物线y＝ax+bx+1与y轴交于点C．

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（1）如图1，抛物线y＝ax+bx+1与x轴交于点A和点B（3，0），对称轴为直线x＝1．

①求抛物线的解析式．

②点P为抛物线上一动点，PN⊥BC，垂足为N，当△PCN与△BOC相似时，直接写出P点坐标；

（2）点D为抛物线顶点，若抛物线上有且只有一个点Q的横坐标是纵坐标的2倍，且∠DCO＝45°，

求a的值．

【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式；

②分情况讨论结合相似三角形的性质和判定求解；

（2）先根据二次函数图象抛物线与直线的交点情况确定点