悬臂梁的弯曲变形.pdfVIP

不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》

本节讨论悬臂梁的弯曲，考察薄板梁，左端固定，右端受切向分布力作用，其合

力为F，悬臂梁在力的作用下将产生弯曲。

设梁的跨度为l，高度为h，厚度为一个单位，自重忽略不计。

首先讨论梁的弯曲应力。

对于悬臂梁，建立坐标系如图所示

。则梁的边界条件为

该边界条件要完全满足非常困难。但深入分析发现，只要梁是细长的，

则其上下表面为主要边界，这是必须精确满足；而左右端面的边界条件，属于次

要边界。

根据圣维南原理，可以使用静力等效的应力分布来替代，这对于离端面

稍远处的应力并无实质性的影响。因此两端面的边界条件可以放松为合力相等的

条件。此外由于梁是外力静定的，固定端的三个反力可以确定，因此在求应力函

数时，只要三面的面力边界条件就可以确定。

固定端的约束，即位移边界条件只是在求解位移时才使用。这样问题的

关键就是选择适当的应力函数，使之满足面力边界条件。

因为在梁的上下边界上，其弯矩为F(l-x)，即力矩与(l-x)成正比，根据应力函

数的性质，设应力函数为

不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》

其中f(y)为y的任意函数。将上述应力函数代入变形协调方程，可得

即，积分可得

由于待定系数d不影响应力计算，可令其为零。所以，应力函数为

将上述应力函数代入应力分量表达式，可得应力分量

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将上述应力分量代入面力边界条件，可以确定待定系数。

在上下边界，自动满足。而，则要求

在x=l边界上，自动满足。而，则要求

联立求解上述三式，可得

注意到对于图示薄板梁，其惯性矩。所以应力分量为

所得应力分量与材料力学解完全相同。

当然对于类似问题，也可以根据材料力学的解答作为基础，适当选择应力函数进行试解，如不满足

边界条件，再根据实际情况进行修正。

不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》

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应力分量求解后，可以进一步求出应变和位移。

将应力分量代入几何方程和

物理方程

，

可得

对于上述公式的前两式分别对x，y积分，可得

不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》

其中f（y），g（x）分别为y，x的待定函数。

将上式代入应变分量表达式的第三式，并作整理可得

由于上式左边的两个方括号内分别为x，y的函数，而右边却为常量，因

此该式若成立，两个方括号内的量都必须为常量。所以

上式的前两式分别作积分，可得

将上式回代位移表达式，则

不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》

其中m，n，c，d为待定常数，将由位移边界条件确定。

显然，上述位移不可能满足位移边界条件x