2023-2024学年浙江省杭州市高二上学期期末考试数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期期末数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】因为或，，

则.

故选：D.

2.已知，为虚数单位，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】因为，则，

故.

故选：C.

3.已知平面向量，，且，则（）

A. B.0 C.1 D.

【答案】A

【解析】因为，，

所以，，

因为，所以，解得.

故选：A

4.已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】由题意：.

故选：A

5.已知，，则（）

A. B. C.或 D.

【答案】D

【解析】因为，则，由已知可得，

解得，

故.

故选：D.

6.数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当较大时，（，常数）．利用以上公式，可以估算的值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】依题意可得，

，

两式相减可得.

故选：B

7.已知，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】，则，，

所以，

所以由不能推出，充分性不成立；

反之，成立，即必要性成立；

，则“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

8.已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：

由圆的几何性质可知，，

因，，，

所以，，

所以，，则，

设，则为的中点，

由勾股定理可得，

由等面积法可得，

所以，当取最小值时，取最小值，由，可得，

所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值，

则，因为，解得.

故选：D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为，则（）

A.

B.这组数据的中位数为4

C.若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5

D.这组数据的第70百分位数为5.5

【答案】ACD

【解析】由题意得，解得，故A正确；

将这组数据从小到大排列为3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则中位数，故B错误；

若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为，故C正确；

因为，所以这组数据的第百分位数为，故D正确．

故选：ACD．

10.在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（）

A.

B.

C.是锐角三角形

D.的最大内角是最小内角的倍

【答案】AC

【解析】对于A，由正弦定理可得，A对；

对于B，由余弦定理可得，，

，

所以，，B错；

对于C，因为，则为最大角，又因为，则为锐角，故为锐角三角形，C对；

对于D，由题意知，为最小角，则，

因为，则，则，D错.

故选：AC.

11.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，面，，点E是棱上一点（不包括端点），F是平面内一点，则（）

A.一定不存在点E，使平面

B.一定不存在点E，使平面

C.以D为球心，半径为2的球与四棱锥的侧面的交线长为

D.的最小值

【答案】ACD

【解析】对于A，在四棱锥中，面，因为面，

所以，因为底面是正方形，所以，

以为原点，射线分别为轴非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

设，

，

显然面的一个法向量为，

而，

即不垂直，

所以与平面不平行，故A正确；

对于B，又，

所以，即，

若，

则，

所以存在点，使得，

又平面，

所以平面，故B错误；

对于C，由题意球面与的交线如图中圆弧，

而，所以，

所以圆弧的弧长为，故C正确；

对于D，由于面，面，所以，

而，面，所以面，

又面，所以，

同理，且，

把展开到同一平面内，要使取得最小值，当且仅当点在上，且，如图，

因为，

所以由勾股定理得，

所以，

而，

所以，

所以，故D正确.

故选：ACD.

12.已知函数，的零点分别为、，则下列结论正确的是（）

A. B.

C. D.

【答案】ABC

【解析】对于函数，可得，

可得，则，

所以，函数的图象关于直线对称，

由，得，

由，得，

作出函数、、的图象如下图所示：

由对称性可知，点、关于直线对称，

对于A选项，，，A