期末解答题压轴题—函数综合题（考题猜想，7种必考题型）原卷版.docx

期末解答题压轴题—函数综合题（考题猜想，7种必考题型）

题型一：一次函数与二次函数、相似三角形、圆的综合题（共4题）

1．（2023秋?中山区期末）【发现问题】某课外活动课上，小聪研制了一种小球滚动模型：在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：、运动距离（单位：随运动时间（单位：变化的数据，整理得下表．

运动时间

0

1

2

3

4

运动速度

8

7.5

7

6.5

6

运动距离

0

7.75

15

21.75

28

小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间、运动距离与运动时间之间的数量关系可以用我们学过的函数来描述．

【提出问题】黑球的运动速度与运动时间、运动距离与运动时间有怎样的函数关系？

【分析问题】小聪利用平面直角坐标系描出表格中各对数值所对应的点，猜测出这两种数量关系对应的函数，并通过验证得出猜想是正确的．

【解决问题】

（1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；

（3）若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．

2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，，，过点的直线与轴交于点，点是线段上一点（不与，重合）．

（1）求直线的解析式及点的坐标；

（2）点是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标；

（3）作于，于，连接．

①若△与△相似，求点的坐标；

②取的中点，直接写出△周长的最小值．

3．（2023秋?锦江区校级期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点在直线上，过点作的垂线，过原点作直线的垂线，两垂线相交于点．

（1）如图，点，分别在第三、二象限内，与相交于点．

①若，求证：．

②若，求四边形的面积．

（2）是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

4．（2023秋?朝阳区期末）在平面直角坐标系中，已知，．

对于点给出如下定义：若，则称为线段的“等直点”．

（1）当时，

①在点，，，中，线段的“等直点”是；

②点在直线上，若点为线段的“等直点”，直接写出点的横坐标．

（2）当直线上存在线段的两个“等直点”时，直接写出的取值范围．

题型二：反比例函数与一次函数、正方形、三角形综合题（共3题）

5．（2023秋?龙岗区校级期末）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表描点连线，画出了如图所示的图象．

0

1

2

3

4

1

2

4

1

0

请根据图象解答：

（1）【观察发现】①完成描点，把图象补充完整；

②表格中：，

③写出函数的一条性质：；

④若函数图象上的两点，，，满足，则．（填“对或错”

（2）【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移个单位长度后，得到直线与函数的图象交于点，连接，．

①求当时，直线的解析式和△的面积；

②直接用含的代数式表示△的面积．

6．（2023秋?海门区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，对角线，相交于点，将正方形绕点逆时针旋转得正方形，点，，，，的对应点分别是，，，，，函数的图象记为图象．

（1）当，时，点恰好在图象上，求的值；

（2）当点，同时在图象上时，点横坐标为4，求的值；

（3）点为轴上一动点，当时，图象过点，且的值最小时，，求的值．

7．（2023秋?锦江区校级期末）对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则．

（1）如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点、的坐标分别为、，求直线的解析式；

（2）如图2，直线与双曲线交于点、，点是双曲线上的一个动点，点、的横坐标分别为、，直线、分别与轴于点、；

①求证：直线与直线为“等腰三角线”；

②过点作轴的垂线，在直线上存在一点；连接，当时，求出线段的值（用含的代数式表示）．

题型三：二次函数的应用（共2题）

8．（2023秋?大连期末）【发现问题】：小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜．

【提出问题】：小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？

【分析问题】：小强以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起