3.1.3 函数的奇偶性 学案（2）.docxVIP

第三章函数

3.1函数的概念与性质

3.1.3函数的奇偶性导学案

1.知识与技能：

理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的生质；学会判断函数的奇偶性；

2.过程与方法：

通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，参透数形结合的数学思想.

3.情态与价值：

通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力.

【重点】

1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义

2.掌握判断函数奇偶性的方法与步骤。

3.学会利用奇偶性应用，证明函数关于某点，某直线对称.

【难点】

1.判断函数的奇偶性，利用函数的奇偶性特征解决问题；

2.函数单调性、奇偶性的综合应用.

函数的奇偶性

初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点（x，y）关于y轴的对称点为（一x，y），关于原点的对称点为（一x，-y）.例如，（一2，3）关于y轴的对称点为，关于原点的对称点为

【尝试与发现】

填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图像应具有的特征。

填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图像应具有的特征。

x

-3

-2

-1

1

2

3

f(x)=x2

g(x)=

1、一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且

f（-x）=f（x），

则称y=f（x）为。

如果y=f（x）是偶函数，其图像具有什么特征呢？

我们知道，点P（x，f（x））与Q（-x，f（-x））都是函数y=f（x）图像上的点，按照偶函数的定义，点Q又可以写成Q（-x，f（x）），因此点P和点Q关于y轴对称，所以偶函数的图像关于对称；反之，结论也成立，即图像关于y轴对称的函数一定是。如下图所示是尝试与发现中两个函数的图像.

【尝试与发现】

按照类似的方式得到奇函数的定义，以及奇函数图像的特征：

按照类似的方式得到奇函数的定义，以及奇函数图像的特征：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有，且

，

则称y=f（x）为奇函数.

奇函数的图像关于对称.

奇函数的图像特征也可按照下述方式得到：点P（x，f（x））与Q（一x，f（-x））都是函数y=f（x）图像上的点，如果y=f（x）是奇函数，则点Q又可以写成Q（一x，一f（x）），因此点P和点Q关于原点对称，所以奇函数的图像关于对称；反之，结论也成立，即图像关于原点对称的函数一定是。如下图所示是奇函数f（x）=x3和g（x）=的图像.

如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性.可以看出，当n是正整数时，函数f（x）=x2n是偶函数，函数g（x）=x2n-1是奇函数

【典型例题】

例1例判断下列函数是否具有奇偶性：

（1）f（x）=x+x3+x5；（2）f（x）=x2+1；

（3）f（x）=x+1；（4）f（x）=x2，x∈[-1，3]

例2已知奇函数f（x）的定义域为D，且0∈D，求证：f（0）=0.

二、函数奇偶性的应用

因为函数的奇偶性描述了函数图像具有的对称性，所以利用函数的奇偶性能简化函数性质的研究。如果知道一个函数是奇函数或是偶函数，那么其定义域能分成关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图像，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像

【尝试与发现】

已知

已知函数f（x）满足f（5）=-3，

分别在条件“f（x）是偶函数”与“f（x）是奇函数”下求出f（-5）的值

【典型例题】

例3已知函数f（x）满足f（5）f（3），分别在下列各条件下比较f（-5）与f（-3）的大小：

（1）f（x）是偶函数；（2）f（x）是奇函数。

【尝试与发现】

已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，且它们的部分图像如

已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，且它们的部分图像如下图所示，补全函数图像，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律。

小结：不难看出，如果y=f（x）是偶函数，那么其在x0与x0时的单调性；

如果y=f（x）是奇函数，那么其在x0与x0时的单调性。

例4研究函数的性质，并作出函数图像.

例5求证：二次函数f（x）=x2+4x+6的图像关于x=-