4.5.1 函数的零点与方程的解（九大题型）.docxVIP

4.5.1函数的零点与方程的解

【题型归纳目录】

题型一：求函数的零点

题型二：根据零点求函数解析式的参数

题型三：零点存在性定理的应用

题型四：根据零点所在区间求参数范围

题型五：根据零点的个数求参数范围

题型六：一次函数零点分布求参数范围

题型七：二次函数零点分布求参数范围

题型八：指对幂函数零点分布求参数范围

题型九：函数与方程的综合应用

【知识点梳理】

知识点一：函数的零点

1、函数的零点

（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.

知识点诠释：

①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；

②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；

③函数的零点就是方程的实数根．

归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

（2）二次函数的零点

二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.

判别式

方程的根

函数的零点

两个不相等的实根

两个零点

两个相等的实根

一个二重零点

无实根

无零点

（3）二次函数零点的性质

①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.

②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.

引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.

2、函数零点的判定

（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.

知识点诠释：

①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．

②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．

③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．

（2）利用方程求解法

求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．

（3）利用数形结合法

函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．

【方法技巧与总结】

1、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.

2、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则

3、零点个数的判断方法

（1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.

（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，

结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

（3）数形结合法：

①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；

②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.4、判断函数零点所在区间

（1）将区间端点代入函数求函数的值；

（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；

（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。

5、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法

（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；

（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；

（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题．

【典型例题】

题型一：求函数的零点

例1．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）函数的零点是（????）

A． B．

C． D．

例2．（2023·全国·高一专题练习）函数的零点为（????）

A． B．2 C． D．

例3．（2023·全国·高一专题练习）若是二次函数的两个零点，则的值是（）

A．3 B．15 C． D．

变式1．（2023·高一单元测试）函数的零点为（????）

A． B． C． D．无零点

变式2．（2023·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）函数的零点为（????）

A．0 B．1 C． D．

【方法技巧与总结】

求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.

题型二：根据零点求函数解析式的参数

例4．（2023·江苏·高一假期作业）关于的函数的两个零点为，且，则＝（）

A． B．

C． D．

例5．（2023·全国·高一专题练习）函数有且只有一个零点，则实数m的值为（????）

A．9 B．12 C．0或9 D．0或12

例6．（2023·高一课时练习）若函数的零点为2，则函数的零点是（????）

A．0， B．0， C．0，2 D．2，

变式3．（2023·高一课时练习）已知2是函数（为常数）的