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第六章实数

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考点一、实数的概念及分类

1、实数的分类

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环〞这一点，归纳起来有四类

〔1〕开方开不尽的数，如等；

〔2〕有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；

〔3〕…等；

〔4〕某些三角函数，如sin60o等〔这类在初三会出现〕

判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如是有理数，而不是无理数。

3、有理数与无理数的区别

〔1〕有理数指的是有限小数与无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；

〔2〕所有的有理数都能写成分数的形式〔整数可以看成是分母为1的分数〕，而无理数则不能写成分数形式。

考点二、平方根、算术平方根、立方根

1、概念、定义

〔1〕如果一个正数x的平方等于a，即，则这个正数x叫做a的算术平方根。

〔2〕如果一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根〔或二次方跟〕。如果，则x叫做a的平方根。

〔3〕如果一个数的立方等于a，则这个数就叫做a的立方根〔或a的三次方根〕。如果，则x叫做a的立方根。

2、运算名称

〔1〕求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。

〔2〕求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。

3、运算符号

〔1〕正数a的算术平方根，记作“〞。

〔2〕a(a≥0)的平方根的符号表达为。

〔3〕一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。

4、运算公式

4、开方规律小结

〔1〕假设a≥0，则a的平方根是，a的算术平方根；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根与算术平方根都是0；负数没有平方根。实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号一样。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

〔2〕假设a0，则a没有平方根与算术平方根；假设a为任意实数，则a的立方根是。

〔3〕正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。

考点三、实数的性质

有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。

1、相反数

〔1〕实数a的相反数是-a；实数与它的相反数是一对数〔只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零〕

〔2〕从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

2、绝对值

〔1〕要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，则不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a|≥0。

〔2〕假设|a|=a，则a≥0；假设|a|=-a，则a≤0，零的绝对值是它本身。

〔3〕

3、倒数

〔1〕如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。实数a的倒数是1/a〔a≠0〕

〔2〕倒数等于本身的数是1与-1。零没有倒数。

考点四、实数的三个非负性及性质

1、在实数范围内，正数与零统称为非负数。

2、非负数有三种形式

〔1〕任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；

〔2〕任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；

〔3〕任何非负数的算术平方根是非负数，即()。

3、非负数具有以下性质

〔1〕非负数有最小值零；

〔2〕非负数之与仍是非负数；

〔3〕几个非负数之与等于0，则每个非负数都等于0.

考点五、实数大小的比拟

实数的大小比拟的法则跟有理数的大小比拟法则一样：

〔1〕正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比拟，绝对值大的反而小；

〔2〕实数与数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

〔3〕两个数比拟大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。

〔4〕对于一些带根号的无理数，我们可以通过比拟它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方与0～10之间整数的立方．

考点六、实数的运算

〔1〕在实数范围内，可以进展加、减、乘、除、乘方及开方运算

〔2〕有理数的运算法则与运算律在实数范围内仍然成立

〔3〕实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序根本一样，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。同级运算按从左到右顺序进展，有括号先算括号里。

〔4〕在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的准确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进展计算。

6.1平方根同步练习〔1〕

知识点：

1.算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于a，则这个正数叫做a的算术平方根。A叫做被开方数。

平方根：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根

平方根的性质：正数有两个平方根，互为相反数

0的平方根