浙江省强基联盟2025届高三上学期10月联考 数学 Word版含解析.docx

浙江强基联盟2024年10月高三联考

数学试题

考生注意：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色。墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，集合，则

A． B． C． D．

2．已知，则

A． B．1 C． D．2

3．已知非零向量，，则“”是“向量”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则

A． B． C． D．

5．二项式的展开式中的常数项为

A．480 B．240 C．120 D．15

6．已知底面半径为2的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱侧面积与圆锥侧面积的比值为

A．1 B． C． D．

7．函数在区间上的所有零点之和为

A． B． C． D．4

8．已知函数的定义域为，当或或是无理数时，；当（，，是互质的正整数）时，．那么当，，，都属于时，下列选项恒成立的是

A． B．

C． D．

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．随机变量，分别服从正态分布和二项分布，且，，则

A． B．

C． D．

10．在正四棱柱中，，点是棱上的动点（不含端点），则

A．过点有且仅有一条直线与直线，都垂直

B．过点有且仅有一条直线与直线，都相交

C．有且仅有一个点满足和的面积相等

D．有且仅有一个点满足平面平面

11．已知是曲线上的一点，则下列选项中正确的是

A．曲线的图象关于原点对称

B．对任意，直线与曲线有唯一交点

C．对任意，恒有

D．曲线在的部分与轴围成图形的面积小于

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，则线段__________．

13．已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为__________．

14．数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的取值范围是__________．

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

15．（13分）

在中，角，，的对边分别为，，，已知，．

（1）求角和角．

（2）若边上的高为，求的面积．

16．（15分）

已知双曲线与过点，的直线有且只有一个公共点，且双曲线的离心率．

（1）求直线和双曲线的方程；

（2）设，为双曲线的左、右焦点，为线段的中点，求证：．

17．（15分）

如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正三角形，是棱的中点．

（1）证明：；

（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．

18．（17分）

已知函数．

（1）若，求函数的单调区间和最值；

（2）若，且一次函数的图象和曲线相切于处，求函数的解析式并证明：恒成立．

（3）若，且函数在上有两个极值点，求实数的取值范围．

19．（17分）

已知整数，数列是递增的整数数列，即且．数列满足，．若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“左型间隔数列”；若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“右型间隔数列”；若对于，恒有或者，则称数列为的“左右型间隔数列”．

（1）写出数列的所有递增的“左右1型间隔数列”；

（2）已知数列满足，数列是的“左型间隔数列”，数列是的“右型间隔数列”，若，且有，求的值；

（3）数列是递增的整数数列，且，．若存在的一个递增的“右4型间隔数列”，使得对于任意的，都有，求的关于的最小值（即关于的最小值函数）．

浙江强基联盟2024年10月高三联考

数学卷参考答案与评分标准

1．C因为，所以．故选C．

2．A因为．故选A．

3．C因为，等价于，即等价于．故选C．

4．A点到圆心的距离为，圆的半径为，所以，于是．故选A．

5．B因为．故选B．

6．C因为；．所以比值为．故选C．

7．B函数的零点即方程的根，函数和的图象均关于中心对称且在上有两个交点，故函数在区间上有4个零点，所以四个零点的和为．故选B．

8．D当时，排除B、C；当，时，排除A．下面证明D的正确性：当，之