5.3.1 单调性（同步课件）-2024-2025学年高二数学同步（苏教版2019选择性必修第一册）.pptx

苏教版2019高一数学（选修一）第五章导数及其应用第1课时单调性5.3.1单调性

目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂小结随堂检测错因分析

学习目标1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.

情景导入我们知道，导数f′(x)刻画了函数f(x)在每一点处的变化趋势，而函数在每一点处的变化趋势可以反映函数的一些性质，比如函数的单调性，既然导数能刻画函数的变化趋势，我们不禁会想导数与函数的单调性是否有某种联系，这就是本节课要讨论的内容.

问题观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系.提示(1)函数y＝x的定义域为R，并且是增函数，其导数y′＝10；(2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.而y′＝2x，当x0时，其导数y′0；当x0时，其导数y′0；当x＝0时，其导数y′＝0.新知探究

(3)函数y＝x3的定义域为R，在定义域上是增函数.而y′＝3x2，当x≠0时，其导数y′＝3x20；当x＝0时，其导数y′＝3x2＝0；

例2讨论函数f(x)＝2x3－6x2＋7的单调性.解：由题设知，f′(x)＝6x2－12x.令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2.因此，在区间(－∞，0)上，f′(x)0，f(x)单调递增；在区间(0,2)上，f′(x)0，f(x)单调递减；在区间(2，＋∞)上，f′(x)0，f(x)单调递增(如图).课本例题

变式1求下列函数的单调区间.(1)f(x)＝3x2－2lnx；解：易知函数的定义域为(0，＋∞)，课堂练习

(2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1.解：f′(x)＝6x2＋6x－36＝6(x＋3)(x－2).令f′(x)0，解得x－3或x2；令f′(x)0，解得－3x2.故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3,2).

变式2已知导函数f′(x)的下列信息：当x0或x7时，f′(x)0；当0x7时，f′(x)0；当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0，试画出函数f(x)的大致图象.解：当x0或x7时，f′(x)0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上单调递增；当0x7时，f′(x)0，可知函数f(x)在区间(0,7)上单调递减；当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0，这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”.故函数f(x)的大致图象如图所示.

【题型一】函数图象与导函数图象的关系?CDA.1 B.2 C.3 D.4?

?概念归纳

【题型二】判断（证明）函数的单调性??

??

?概念归纳

【题型三】求函数的单调区间例3求下列函数的单调区间:????

?概念归纳

1.已知f(x)在R上是可导函数，y＝f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)0的解集为A.(－2,0)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－2，－1)∪(1,2)分层练习-基础答案：D解：因为f(x)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)0.

2.函数f(x)＝x3－3x2＋1的减区间为A.(2，＋∞) B.(－∞，2)C.(－∞，0) D.(0,2)解：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)0，得0x2，所以f(x)的减区间为(0,2).答案：D

3.函数f(x)＝lnx－4x＋1的增区间为答案：A

4.设函数f(x)＝4lnx－x2＋3x在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的取值范围是A.(0,3] B.(0,2]C.[3，＋∞) D.[2，＋∞)答案：A令f′(x)0，解得－1x4，∴函数f(x)的增区间为(0,4]，

5.函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的减区间为______________.解：f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，令f′(x)0，解得－2x－1，所以函数f(x)的减区间为(－2，－1).(－2，－1)

(－3，－1)∪(0,1)解：由题图知，当x∈(－∞，－3)，(－1,1)时，f(x)单调递减，故