高等数学(上)-第3版教学课件4-2换元积分法.pptx

基础课教学部《高等数学》第二节换元积分法

一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、思政小课堂第二节换元积分法第四章不定积分高等数学（下）第3版

一、第一换元积分法引例求dxexò5分析：在基本积分公式中有ò+=Cedxexx那么是否也有ò+=Cedxexx55呢？因为xxxeeCe5555)(1=￠+所以ò+=Cedxexx55是错误的。我们尝试用用下面的方法：dxexò5dueu=ò51xdex=ò5551dxex=ò5551Cexux+=5515回代dueuxu=ò515令验证：xxeCe55)51(=￠+

1.定义：一般的，若)(uF是)(uf的原函数，即)()(ufuF=￠，则ò+=CuFduuf)()(当)(xuj=时，根据一阶微分形式的不变性，我们有：CXFxuCuFduufuxxdxfdxxxf+=+=￠òòò)]([)()()]([)]([)()]([jjjjjjj回代）（积分）（令凑微分用这个方法计算不定积分，就称为第一换元积分法，又称为凑微分法，其中关键的一步就是凑微分。例1求ò+dxx8)32(。解：dxx+ò8)32(Cxxu+++=9)32(18132回代Cu+×99121积分duuux=+ò82132令xdx++ò8)32(3221）（凑微分

例2求òdxxex2解：dxxexò2Cexux+=2212回代Cdueu+ò21积分dueuxu=ò212令dxexò2212凑微分例3求òdxxx)cos(ln解：dxxxò)cos(lnCxxu+=)sin(lnln回代uduux=òcos21ln令xdxòln)cos(ln21凑微分Cu+sin积分

例4求下列不定积分：（1）òxdxxsincos3（2）dxxxò-2ln11（3）dxxxò+)1sin(（4）òdxxex21解：（1）ò-=xxd3coscosòxdxx3sincos+-=Cx4cos41

（2）xdx-=òlnln112dxxx-òln112Cx+=)arcsin(ln（3）Cx++-=)1cos(2xdx++=ò)1()1sin(2xdx+=ò)()1sin(2dxxx+ò)1sin(（4）dxxexò21xdex-=ò1)1(Cex+-=1

例5计算下列不定积分（1）)0(122adxxaò-（2）dxxaò+221（3）òxdxtan（4）òxdxcot（5）òxdxsec（6）òxdxcsc解：（1）Cax+=arcsinaxdax-=ò)(112dxaxa-=ò)(112adxxa-ò)0(122（2）axdaxa+=ò)(1112adxxa+=ò))(1(122dxxa+ò122Caxa+=arctan1

（3）xdx-=òcoscos1dxxx=òcossinxdxòtanCx+-=cosln同理（4）Cxxdx+=òsinlncot（5）Cxx++=tanseclnxxdxx++=ò)tan(sectansec1dxxxxxxxdx++=òòtansec)tan(secsecsecdxxxxxx++=òtansectansecsec2类似地，有（6）Cxxxdx+-=òcotcsclncsc

例6求ò-dxax221解：我们知道)11(21122axaxaax+--=-所以Caxaxa++-=ln21Caxaxa++--=]ln[ln21axdaxaxdaxa++---=òò])(1)(1[21dxaxaxadxax+--=-òò)11(21122

例7求下列不定积分（1）ò-+dxxx293（2）ò+dxex11（3）òxdx2cos（4）òxdxx3sin5cos解：（1）Cxx+--=29arcsin3xdxx---=ò22)9(91213arcsin3dxxxdxx-+-=òò22993x9dxx-+ò23

（2）Cexedexdxeedxdxeeedxexxxxxxxxx++-=++-=+-=+-+=+òòòòò)1ln()1(11111)1(11（3）Cxxxxdxxdxdxdxxxdx++=+=+=+