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乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。——《孟子》
直线过定点问题典型分析
在历年的高考数学试题中，解析几何的定值定点问题是常规题型之一，其中
直线过定点的问题是近几年的高考热点问题之一，在此分别对椭圆和抛物线两个
不同背景给出几个典型案例的对比解答分析，以便提供给同学们一些解法的参考。
一方面、椭圆中的直线过定点问题
在椭圆背景下的直线过定点的问题中，在设而不求的基本方法指导下通常要
注意①直线方程的设法表达选择；②类比运算可有效地化简重复的运算的过程；
③观察对象是否具备对称性，若具备，则可利用三点共线可有效地简化直线过定
点的解答过程；④目标对象对条件分析方向的影响；⑤特殊条件的特殊模型转化。
例1、已知椭圆E:,左焦点为，过且斜率为的直线交椭圆于
,两点，定点，延长,分别交椭圆E于,两点.
1.
求证：为定值；⑵求证：直线过定点.
设
乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。——《孟子》
则，即
化简整理可得：
同理可得：
由直线的对称性，不妨设直线过定点；
那么由可得：；
所以直线过定点.
评注：反设直线方程表达；类比运算简化解答；利用对称性三点共线转化直
线过定点；
例2、已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上定点，
,为直线上的动点，与的另一个交点为，与的另一个交
点为.
1.
求的方程；⑵证明：直线过定点.
⑴
⑵设
乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。——《孟子》
由点的运动轨迹关于轴对称，则直线同样关于轴对称，不妨设过
定点坐标为；
则，即
所以直线过定点.
评注：不能使用类比运算；但可利用对称性，三点共线转化直线过定点；
例3、已知椭圆，都在椭圆上，且均过椭圆右焦点，
设直线的斜率分别为，且有，线段中点分别为，求证
直线过定点，并求出定点坐标。
设过右焦点的动弦的中点坐标为，；
由垂径定理可知：且，
则动弦中点的轨迹方程为
设直线
又因为
整理可得：，即（舍去）或
乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。——《孟子》
所以直线过定点.
评注：两条弦的中点连线条件，利用动弦中点轨迹与直线相交转化，这
样问题等价
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