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专题18.1平行四边形中的几何综合
◆思维方法
正向思维:是一类常规性的、传统的思维形式,指的是大家按照自上而下,由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维:是指在剖析、破解数学难题进程中,可以灵活转换思维方向,从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式,比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维,直接证明有困难时可采
用间接证明。
◆知识点总结
一、平行四边形的性质
(1)平行四边形的概念:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
(2)平行四边形的性质:
①边:平行四边形的对边相等.
②角:平行四边形的对角相等.
③对角线:平行四边形的对角线互相平分.
(3)平行线间的距离处处相等.
(4)平行四边形的面积:
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.
②同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.
二、平行四边形的判定
(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(3)定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(4)定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形
(5)定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
第1页共23页.
◆典例分析
▱=2
【典例1】已知,.
(1)如图1,若以为边作等边△,且点E恰好在边上,直接写出此时▱的面积;
(2)如图2,若以为斜边作等腰直角△,且点F恰好在边上,过C作⊥交BF于G,连接
.
①依题意将图2补全;
②用等式表示此时线段之间的数量关系,并证明;
,,
(3)如图3,以为边作▱,且∠=60°,=3.若⊥,直接用等式表示此时与
的数量关系.
【思路点拨】
(1)作⊥于点I,利用等边三角形的性质求得的长,再利用勾股定理求得的长,最后利用平行四
边形的面积公式求解即可;
(2)①依照题意补全图形即可;
②延长交的延长线于点H,延长交的延长线于点J,利用ASA证明△≌△,推出
==△≌△==+
,,再证明(SAS),推出,即可证明;
⊥△
(3)连接,作并交的延长线于点K,推出四边形是平行四边形,得到是直角
三角形,2+2=2+2=2,求得即可解决问题.
【解题过程】
⊥
(1)解:作于点I,
第2页共23页.
∵△是边长为2的等边三角形,
1
∴===1,
2
∴=2−2=3,
∴此时▱的面积为×=2×3=23;
(2)解:①补全图形如图,
②=+;理由如下,
延长交的延长线于点H,延长交的延长线于点J,
∵△是以为斜边的等腰直角三角形,
∴=,∠=∠=90°,∠=45°,
∵四边形是平行四边形,
∥=
∴,
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