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模块一:勾股定理及证明
A
1.勾股定理:
如果直角三角形的两直角边分别是a,b,斜边为c,那么222.
abc
c
即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.b
注:勾——较短的边、股——较长的直角边、弦——斜边.
BaC
2.勾股定理的证明:
图2
(1)弦图证明
内弦图外弦图
221221
S正方形ABCD(ab)c4abS正方形EFGHc(ab)4ab
22
∴222∴222
abcabc
(2)“总统”法(半弦图)
如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形:
(ab)(ab)112
S2abc
梯形ABCD
222
∴222
abc
3.勾股数:
满足222的三个正整数,称为勾股数.
abc
(1)3、4、5;6、8、10;9、12、15;12、16、20;15、20、25等.
(2)(a,b,c)是组勾股数,则(ka,kb,kc)(k为正整数)也是一组勾股数.
(3)3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;11、60、61等
22
a2n1b2n2nc2n2n1
(4),,(n为大于1的自然数)
(5)22,b2mn,22(,且m和n均为正整数)
am-ncmnmn
模块二:勾股定理逆定理及应用
1.勾股定理的逆定理:
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么前两边的夹角一定是直角.即在
△ABC中,如果222,那么△ABC是直角三角形.
ACBCAC
2.勾股定理的常见题型.
第1页共8页.
(1)勾股证明的方法成百上千种,其中《几何原本》中的证法非常经典,是在一个我们非常熟
悉的几何图形中实现的(如图所示),如果直角三角形ABC的三边长为a,b,c(c为斜边),
以这三边向外作三个正方形,试利用此图证明2
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