浙江专用备战2025年高考数学考点一遍过考点03函数及其表示含解析.docxVIP

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考点03函数及其表示

1.了解函数、映射的概念.

2.了解函数的定义域、值域及三种表示法（解析法、图象法和列表法）.

3.了解简洁的分段函数，会用分段函数解决简洁的问题.

一、函数的概念

1．函数与映射的相关概念

（1）函数与映射的概念

函数

映射

两个集合A、B

设A、B是两个非空数集

设A、B是两个非空集合

对应关系

依据某种确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应

按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

名称

称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

记法

y＝f(x)，x∈A

f：A→B

留意：推断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满意函数定义中“定义域内的随意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．

（2）函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

（3）构成函数的三要素

函数的三要素为定义域、值域、对应关系.

（4）函数的表示方法

函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.

解析法：一般状况下，必需注明函数的定义域；

列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

图象法：留意定义域对图象的影响.

2．必记结论

(1)相等函数

假如两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一样，则这两个函数相等．

①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．

②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x?1，g(t)＝2t?1，h(m)＝2m?1均表示相等函数.

(2)映射的个数

若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个．

二、函数的三要素

1．函数的定义域

函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.

(5)y＝ax(a0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.

(6)y＝logax(a0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).

(7)y＝tanx的定义域为.

2．函数的解析式

(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可依据题目的条件转化为该形式.

(2)求函数的解析式时，肯定要留意函数定义域的改变，特殊是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.

3．函数的值域

函数的值域就是函数值构成的集合，娴熟驾驭以下四种常见初等函数的值域：

(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.

(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(?∞，0)∪(0，＋∞)．

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，

当a0时，二次函数的值域为；

当a0时，二次函数的值域为.

求二次函数的值域时，应驾驭配方法：.

(4)y＝sinx的值域为[?1,1]．

三、分段函数

1．分段函数的概念

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

2．必记结论

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．

考向一求函数的定义域

在高考中考查函数的定义域时多以客观题形式呈现，难度不大.

1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略

(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．

(2)抽象函数：

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．

2．求函数定义域的留意点

(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域改变．

(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．

(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应当用并集符号“∪”连接.

典例1函数的定义域为

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由函数的表达式可