浙江专用2025版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第3讲两角和与差的正弦余弦和正切公式练习含.docVIP

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第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[基础达标]

1．计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为()

A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)

C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)

解析：选A.－sin133°cos197°－cos47°cos73°

＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°

＝sin(47°－17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).

2．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))，则tanα＝()

A．－1 B．0

C．eq\f(1,2) D．1

解析：选A.因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))，

所以eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα，

所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))cosα，

所以sinα＝－cosα，所以tanα＝－1.

3．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,7)，则sinα等于()

A．eq\f(3,5) B．eq\f(4,5)

C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)

解析：选A.因为taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(1,7)，

所以tanα＝－eq\f(3,4)＝eq\f(sinα,cosα)，所以cosα＝－eq\f(4,3)sinα.

又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝eq\f(9,25).

又因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以sinα＝eq\f(3,5).

4．(2024·宁波效实中学高三质检)sin2α＝eq\f(24,25)，0αeq\f(π,2)，则eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))的值为()

A．－eq\f(1,5) B．eq\f(1,5)

C．－eq\f(7,5) D．eq\f(7,5)

解析：选D.eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosα＋\f(\r(2),2)sinα))＝sinα＋cosα，

又因为(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝eq\f(49,25)，0αeq\f(π,2)，

所以sinα＋cosα＝eq\f(7,5)，故选D.

5．已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq\f(1,2)，则tan(α－β)的值为()

A．－eq\f(2,11) B．eq\f(2,11)

C．eq\f(11,2) D．－eq\f(11,2)

解析：选A.因为sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，

所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，

所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4).

因为tan(π－β)＝eq\f(1,2)＝－tanβ，所以tanβ＝－eq\f(1,2)，

则tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝－eq\f(2,11).

6．(2024·温州市十校联合体期初)若α∈eq\b\lc\(\rc\)